Avendia20

日記 (2019 年 8 月 1 日)

前回は、 景 (󰒚,J) に対して、 それ上の層の圏 ShJ(󰒚) を前層の圏の充満部分圏として定義した。 今回は、 任意の前層から層を構成する方法を紹介する。

本題となる定義の前に、 Grothendieck 位相に関して補足をしておく。 景 (󰒚,J) の対象 C に対し、 JC は C 上の篩の集まりであり、 C 上の篩とは yC の部分関手であった。 つまり、 JC の元は全て PSh(󰒚) の対象になっている。 さらに、 JC には包含関係が定まっているが、 これを定める包含射は PSh(󰒚) の射でもある。 したがって、 JC は PSh(󰒚) の部分圏だと見なすことができる。

まず、 プラス構成と呼ばれる構成方法を定義する。

定義 2.1.

景 (󰒚,J) をとる。 前層 P:󰒚∘→Set に対し、 P+: 󰒚∘ ⟶ Set C ⟼ colimS∈JC∘HomPSh(󰒚)(S,P) と定める。 すると、 これは関手 -+: PSh(󰒚) ⟶ PSh(󰒚) P ⟼ P+ を定めるが、 これをプラス構成関手 (plus construction functor) という。 射の対応は明らかな方法で定める。 なお、 最初の式の右辺は関手 HomPSh(󰒚)(-,P):JC∘→Set の余極限である。

プラス構成を定める余極限は、 以下のように具体的に書くこともできる。 続く命題の証明には、 この表示を用いる。

命題 2.2.

景 (󰒚,J) をとる。 前層 P:󰒚∘→Set および対象 C に対し、 P+C は直和の剰余集合として P+C≅ 󰄘S∈JCHomPSh(󰒚)(S,P) ≈ と書ける。 ここで、 2 つの自然変換 a:S→P,a󰎘:S󰎘→P が a≈a󰎘 を満たすとは、 ある T∈JC が存在して、 T⊆S かつ T⊆S󰎘 が成り立ち、 さらに STPS󰎘aa󰎘 が可換であることと定める。 さらに、 射 h:D→C に対して定まる写像 P+h:P+C→P+D は、 自然変換 a:S→P で代表される元を、 合成 h∗SSPh∘-a で代表される元に移す。

証明.

余極限の普遍性を定義に従って確かめれば良い。

任意の前層からプラス構成を 1 回行うだけでは層になるとは限らないが、 以下で定義する分離前層になることは保証される。 分離前層が層と異なるのは、 自然変換の持ち上げが必ずしも存在するとは限らない点である。

定義 2.3.

景 (󰒚,J) をとる。 前層 P:󰒚∘→Set が分離 (separated) であるとは、 任意の被覆篩 S∈JC と任意の自然変換 a:S→P に対し、 図式 SPyCa を可換にする破線の自然変換は存在すれば一意になることである。

層の場合と同様に、 分離性と同値になるいくつかの言い換えも挙げておく。

命題 2.4.

景 (󰒚,J) をとる。 前層 P:󰒚∘→Set に対し、 3 条件

  1. P は分離である。
  2. 任意の被覆篩 S∈JC に対し、 それが誘導する写像 -∘S:HomSet󰒚∘(yC,P)→HomSet󰒚∘(S,P) は単射である。
  3. 任意の被覆篩 S∈JC とその適合族 (af)f∈S に対し、 その融合は存在すれば一意である。

は同値である。

証明.

命題 1.13 と同様である。

すでに述べたように、 任意の前層からプラス構成を 1 回行うだけでは分離前層にしかならない。 しかし、 ここからさらにプラス構成を行うと層になる。 これによって、 前層から層を構成することができるのである。

命題 2.5.

景 (󰒚,J) をとる。 前層 P:󰒚∘→Set に対し、 P+ は分離前層である。

証明.

任意に被覆篩 W∈JC をとる。 命題 2.4 によって、 -∘W:Hom(yC,P+)→Hom(W,P+) が単射であることを示せば良い。 そこで、 自然変換 α,α󰎘:yC→P+ をとり、 これらが α∘W=α󰎘∘W を満たすとする。 すなわち、 任意の f∈W:D→C に対し、 (α∘W)Df=(α󰎘∘W)Df∈P+D♡ が成り立つとする。

さて、 Yoneda 同型によって α,α󰎘 と対応する元をそれぞれ 󰔂α,󰔂α󰎘∈P+C とし、 これらがそれぞれある被覆篩 S,S󰎘∈JC に対して a:S→P,a󰎘:S󰎘→P で代表されるとする。 すると、 仮定 ♡ は、 2 つの自然変換 f∗SSPf∘-af∗S󰎘S󰎘Pf∘-a󰎘 が P+D を定める同値関係において同値であるということである。 それはすなわち、 ある被覆篩 Tf∈JD が存在し、 Tf⊆f∗S かつ Tf⊆f∗S󰎘 であって、 f∗SSTfPf∗S󰎘S󰎘f∘-af∘-a󰎘 が可換になるということである。 ここで、 U:={f∘g∣f∈W,g∈Tf}⊆yC と定めると、 これは位相の推移性によって被覆篩になっており、 U⊆S かつ U⊆S󰎘 であり、 さらに SUPS󰎘aa󰎘 が可換である。 これはすなわち、 a,a󰎘 が P+C を定める同値関係において同値であることを意味する。 したがって、 α=α󰎘 が成り立つ。

命題 2.6.

景 (󰒚,J) をとる。 前層 P:󰒚∘→Set に対し、 P が分離前層ならば P+ は層である。

証明.

任意に被覆篩 W∈JC をとる。 命題 1.13 によって、 -∘W:Hom(yC,P+)→Hom(W,P+)♤ が全射であることを示せば良い。 そこで、 自然変換 α:W→P+ をとる。 すると、 各射 f∈W:D→C に対して、 元 αDf∈P+D が定まっていることになる。 これが、 被覆篩 Sf∈JD によって af:Sf→P で代表されているとする。

さて、 a の自然性によって、 任意の射 g:E→D に対し、 WDP+DWEP+EαDWgP+gαE は可換である。 これは、 各射 f∈W:D→C について、 (P+g)(αDf)=αE(f∘g) が成り立つということである。 さらにこれは、 2 つの自然変換 g∗SfSfPg∘-afSf∘gPaf∘g が P+E において同値であるということである。 したがって、 ある被覆篩 Tfg∈JE が存在し、 Tfg⊆g∗Sf かつ Tfg⊆Sf∘g であって、 g∗SfSfTfgPSf∘gg∘-afaf∘g は可換である。

さて、 U:={f∘g∣f∈W,g∈Sf}⊆yC と定めると、 これは位相の推移性によって被覆篩である。 そこで、 自然変換 󰔄a:U→P を、 各対象 E に対し、 󰔄aE: UE ⟶ PE f∘g ⟼ afg(f∈S,g∈Sf,codg=E) で定める。

この 󰔄aE が矛盾なく定義できていることを確かめる。 そこで、 f,f󰎘∈W および g∈Sf,g󰎘∈Sf󰎘 をとり、 f∘g=f󰎘∘g󰎘 を満たすとする。 このとき、 Yoneda 同型によって afg,af󰎘g󰎘 と対応する元をそれぞれ 󰔌afg,󰔌af󰎘g󰎘:yE→P とし、 󰔌afg=󰔌af󰎘g󰎘 を示せば良い。 今 P は分離前層だから、 包含射が誘導する写像 Hom(yE,P)→Hom(Vfg∩Vf󰎘g󰎘,P)♡ は単射なので、 󰔌afg,󰔌af󰎘g󰎘 をそれぞれこの写像で移した先が等しいことを示せば十分である。 そのために、 図式 g∗SfSfTfgPSf∘gTfg∩Tf󰎘g󰎘Sf󰎘∘g󰎘Tf󰎘g󰎘Pg󰎘∗Sf󰎘Sf󰎘g∘-afaf∘gaf󰎘∘g󰎘g󰎘∘-af󰎘 を考えると、 これは Tfg,Tf󰎘g󰎘 の定義から可換である。 したがって、 図式 yEg∗SfSfTfg∩Tf󰎘g󰎘Pg󰎘∗Sf󰎘Sf󰎘yE󰔌afgg∘-afg󰎘∘-af󰎘󰔌af󰎘g󰎘 も可換である。 実際、 中央の六角形は上の図式の外側と同じものなので可換であり、 上下にある部分は 󰔌afg,󰔌af󰎘g󰎘 の定義から可換である。 そして、 この可換性は 󰔌afg,󰔌af󰎘g󰎘 を写像 ♡ で移した先が等しいということを意味しているので、 示したかったことが示された。

以上によって、 自然変換 󰔄a:U→P が得られた。 すると、 定義によって、 任意の射 f∈W:D→C に対し、 2 つの自然変換 f∗UUPf∘-󰔄aSfPaf は全く同じになっているので、 P+D の元としても等しい。 󰔄a によって代表される元を 󰔂󰔄α∈P+C とおき、 さらに Yoneda 同型で対応する自然変換を 󰔄α:yC→P+ とおけば、 このことは 󰔄αDf=αDf が成り立つことを意味している。 すなわち、 󰔄α∘S=󰔄α であるから、 写像 ♤ は全射である。

この 2 つの命題によって、 層化関手を定義できる。

定義 2.7.

景 (󰒚,J) をとる。 関手 a: PSh(󰒚) ⟶ ShJ(󰒚) P ⟼ P++ を層化関手 (sheafification functor) という。

次回は、 この層化関手が包含関手 i:ShJ(󰒚)↪PSh(󰒚) の左随伴になっていることを証明する。

参考文献

  1. S. MacLane, I. Moerdijk (1992) 『Sheaves in Geometry and Logic』 Springer