Avendia19
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日記 (2019 年 8 月 1 日)

前回は、 景 (󰒚,J) に対して、 それ上の層の圏 ShJ(󰒚) を前層の圏の充満部分圏として定義した。 今回は、 任意の前層から層を構成する方法を紹介する。

本題となる定義の前に、 Grothendieck 位相に関して補足をしておく。 景 (󰒚,J) の対象 C に対し、 JCC 上の篩の集まりであり、 C 上の篩とは yC の部分関手であった。 つまり、 JC の元は全て PSh(󰒚) の対象になっている。 さらに、 JC には包含関係が定まっているが、 これを定める包含射は PSh(󰒚) の射でもある。 したがって、 JCPSh(󰒚) の部分圏だと見なすことができる。

まず、 プラス構成と呼ばれる構成方法を定義する。

1

(󰒚,J) をとる。 前層 P:󰒚Set に対し、 P+: 󰒚 Set C colimSJCHomPSh(󰒚)(S,P) と定める。 すると、 これは関手 -+: PSh(󰒚) PSh(󰒚) P P+ を定めるが、 これをプラス構成関手plus construction functor という。 射の対応は明らかな方法で定める。 なお、 最初の式の右辺は関手 HomPSh(󰒚)(-,P):JCSet の余極限である。

プラス構成を定める余極限は、 以下のように具体的に書くこともできる。 続く命題の証明には、 この表示を用いる。

2

(󰒚,J) をとる。 前層 P:󰒚Set および対象 C に対し、 P+C は直和の剰余集合として P+C 󰄘SJCHomPSh(󰒚)(S,P) と書ける。 ここで、 2 つの自然変換 a:SP,a󰎘:S󰎘Paa󰎘 を満たすとは、 ある TJC が存在して、 TS かつ TS󰎘 が成り立ち、 さらに STPS󰎘aa󰎘 が可換であることと定める。 さらに、 射 h:DC に対して定まる写像 P+h:P+CP+D は、 自然変換 a:SP で代表される元を、 合成 hSSPh-a で代表される元に移す。

余極限の普遍性を定義に従って確かめれば良い。

任意の前層からプラス構成を 1 回行うだけでは層になるとは限らないが、 以下で定義する分離前層になることは保証される。 分離前層が層と異なるのは、 自然変換の持ち上げが必ずしも存在するとは限らない点である。

3

(󰒚,J) をとる。 前層 P:󰒚Set分離separated であるとは、 任意の被覆篩 SJC と任意の自然変換 a:SP に対し、 図式 SPyCa を可換にする破線の自然変換は存在すれば一意になることである。

層の場合と同様に、 分離性と同値になるいくつかの言い換えも挙げておく。

4

(󰒚,J) をとる。 前層 P:󰒚Set に対し、 3 条件

  1. P は分離である。
  2. 任意の被覆篩 SJC に対し、 それが誘導する写像 -S:HomSet󰒚(yC,P)HomSet󰒚(S,P) は単射である。
  3. 任意の被覆篩 SJC とその適合族 (af)fS に対し、 その融合は存在すれば一意である。

は同値である。

7 月 27 日の命題 13 と同様である。

すでに述べたように、 任意の前層からプラス構成を 1 回行うだけでは分離前層にしかならない。 しかし、 ここからさらにプラス構成を行うと層になる。 これによって、 前層から層を構成することができるのである。

5

(󰒚,J) をとる。 前層 P:󰒚Set に対し、 P+ は分離前層である。

任意に被覆篩 WJC をとる。 命題 4 によって、 -W:Hom(yC,P+)Hom(W,P+) が単射であることを示せば良い。 そこで、 自然変換 α,α󰎘:yCP+ をとり、 これらが αW=α󰎘W を満たすとする。 すなわち、 任意の fW:DC に対し、 (αW)Df=(α󰎘W)DfP+D が成り立つとする。

さて、 Yoneda 同型によって α,α󰎘 と対応する元をそれぞれ 󰔂α,󰔂α󰎘P+C とし、 これらがそれぞれある被覆篩 S,S󰎘JC に対して a:SP,a󰎘:S󰎘P で代表されるとする。 すると、 仮定 は、 2 つの自然変換 fSSPf-afS󰎘S󰎘Pf-a󰎘P+D を定める同値関係において同値であるということである。 それはすなわち、 ある被覆篩 TfJD が存在し、 TffS かつ TffS󰎘 であって、 fSSTfPfS󰎘S󰎘f-af-a󰎘 が可換になるということである。 ここで、 U:={fgfW,gTf}yC と定めると、 これは位相の推移性によって被覆篩になっており、 US かつ US󰎘 であり、 さらに SUPS󰎘aa󰎘 が可換である。 これはすなわち、 a,a󰎘P+C を定める同値関係において同値であることを意味する。 したがって、 α=α󰎘 が成り立つ。

6

(󰒚,J) をとる。 前層 P:󰒚Set に対し、 P が分離前層ならば P+ は層である。

任意に被覆篩 WJC をとる。 7 月 27 日の命題 13 によって、 -W:Hom(yC,P+)Hom(W,P+) が全射であることを示せば良い。 そこで、 自然変換 α:WP+ をとる。 すると、 各射 fW:DC に対して、 元 αDfP+D が定まっていることになる。 これが、 被覆篩 SfJD によって af:SfP で代表されているとする。

さて、 a の自然性によって、 任意の射 g:ED に対し、 WDP+DWEP+EαDWgP+gαE は可換である。 これは、 各射 fW:DC について、 (P+g)(αDf)=αE(fg) が成り立つということである。 さらにこれは、 2 つの自然変換 gSfSfPg-afSfgPafgP+E において同値であるということである。 したがって、 ある被覆篩 TfgJE が存在し、 TfggSf かつ TfgSfg であって、 gSfSfTfgPSfgg-afafg は可換である。

さて、 U:={fgfW,gSf}yC と定めると、 これは位相の推移性によって被覆篩である。 そこで、 自然変換 󰔄a:UP を、 各対象 E に対し、 󰔄aE: UE PE fg afg(fS,gSf,codg=E) で定める。

この 󰔄aE が矛盾なく定義できていることを確かめる。 そこで、 f,f󰎘W および gSf,g󰎘Sf󰎘 をとり、 fg=f󰎘g󰎘 を満たすとする。 このとき、 Yoneda 同型によって afg,af󰎘g󰎘 と対応する元をそれぞれ 󰔌afg,󰔌af󰎘g󰎘:yEP とし、 󰔌afg=󰔌af󰎘g󰎘 を示せば良い。 今 P は分離前層だから、 包含射が誘導する写像 Hom(yE,P)Hom(VfgVf󰎘g󰎘,P) は単射なので、 󰔌afg,󰔌af󰎘g󰎘 をそれぞれこの写像で移した先が等しいことを示せば十分である。 そのために、 図式 gSfSfTfgPSfgTfgTf󰎘g󰎘Sf󰎘g󰎘Tf󰎘g󰎘Pg󰎘Sf󰎘Sf󰎘g-afafgaf󰎘g󰎘g󰎘-af󰎘 を考えると、 これは Tfg,Tf󰎘g󰎘 の定義から可換である。 したがって、 図式 yEgSfSfTfgTf󰎘g󰎘Pg󰎘Sf󰎘Sf󰎘yE󰔌afgg-afg󰎘-af󰎘󰔌af󰎘g󰎘 も可換である。 実際、 中央の六角形は上の図式の外側と同じものなので可換であり、 上下にある部分は 󰔌afg,󰔌af󰎘g󰎘 の定義から可換である。 そして、 この可換性は 󰔌afg,󰔌af󰎘g󰎘 を写像 で移した先が等しいということを意味しているので、 示したかったことが示された。

以上によって、 自然変換 󰔄a:UP が得られた。 すると、 定義によって、 任意の射 fW:DC に対し、 2 つの自然変換 fUUPf-󰔄aSfPaf は全く同じになっているので、 P+D の元としても等しい。 󰔄a によって代表される元を 󰔂󰔄αP+C とおき、 さらに Yoneda 同型で対応する自然変換を 󰔄α:yCP+ とおけば、 このことは 󰔄αDf=αDf が成り立つことを意味している。 すなわち、 󰔄αS=󰔄α であるから、 写像 は全射である。

この 2 つの命題によって、 層化関手を定義できる。

7

(󰒚,J) をとる。 関手 a: PSh(󰒚) ShJ(󰒚) P P++層化関手sheafification functor という。

次回は、 この層化関手が包含関手 i:ShJ(󰒚)PSh(󰒚) の左随伴になっていることを証明する。

参考文献

  1. S. MacLane, I. Moerdijk (1992) 『Sheaves in Geometry and Logic』 Springer