圏 󰒚 の対象 C に対し、 yC の部分関手を C 上の篩 (sieve) という。

圏 󰒚 の対象 C に対し、 yC 自身を C 上の極大篩 (maximal sieve) といい、 ⊤C で表す。

圏 󰒚 の射 h:D→C をとる。 C 上の篩 S に対し、 Set󰒚∘ における引き戻し h∗SSyDyCyh で定まる D 上の篩 h∗S を、 h による S の引き戻し (pullback) という。

圏 󰒚 の射 h:D→C をとる。 C 上の篩 S に対し、 その h による引き戻しは、 h∗S={f∣codf=D,h∘f∈S} と書ける。

圏 󰒚 をとる。 各対象 C に対して C 上の篩の集まり JC を定める対応を考えるとき、 この対応 J が Grothendieck 位相 (— topology) であるとは、 3 条件

1. 任意の対象 C に対し、 ⊤C∈JC が成り立つ。
2. 任意の射 h:D→C に対し、 S∈JC ならば h∗S∈JD が成り立つ。
3. 篩 S∈JC をとる。 C 上の篩 T について、 任意の h∈S:D→C に対して h∗T∈JD が成り立つならば、 T∈JC が成り立つ。

が全て満たされることをいう。 また、 各対象 C に対して、 JC の元を C の被覆篩 (covering sieve) という。 さらに、 上記の 2 番目と 3 番目の条件は、 それぞれ安定性 (stability) および推移性 (transitivity) と呼ばれる。

圏 󰒚 の Grothendieck 位相 J をとる。 󰒚 の任意の対象 C 上の篩 S,T に対して、 S⊆T かつ S∈JC ならば、 T∈JC が成り立つ。

圏 󰒚 の Grothendieck 位相 J をとる。 󰒚 の任意の対象 C 上の篩 S,T に対して、 S,T∈JC ならば、 S∩T∈JC が成り立つ。

圏 󰒚 に対し、 関手 P:󰒚∘→Set を 󰒚 上の前層 (presheaf) という。

圏 󰒚 とその上の Grothendieck 位相 J の組 (󰒚,J) を景 (site) という。

景 (󰒚,J) をとる。 関手 P:󰒚∘→Set が 󰒚 上の層 (sheaf) であるとは、 任意の被覆篩 S∈JC と任意の自然変換 a:S→P に対し、 図式 SPyCa を可換にする破線の自然変換が一意に存在することである。

景 (󰒚,J) をとり、 前層 P:󰒚∘→Set および被覆篩 S∈JC を考える。 各射 f∈S:D→C に対して元 af∈PD を定めている族 (af)f∈S が S に関する P の適合族 (matching family) であるとは、 篩に属する任意の射 f∈S:D→C と任意の射 g:E→D に対し、 af·g=af∘g が成り立つことである。

景 (󰒚,J) をとり、 前層 P:󰒚∘→Set および被覆篩 S∈JC を考え、 その適合族 (af)f∈S をとる。 元 󰔄a∈PC が (af)f∈S の融合 (amalgamation) であるとは、 任意の射 f∈S:D→C に対し、 󰔄a·f=af が成り立つことである。

景 (󰒚,J) をとる。 前層 P:󰒚∘→Set に対し、 4 条件

1. P は層である。
2. 任意の被覆篩 S∈JC に対し、 それが誘導する写像 -∘S:HomSet󰒚∘(yC,P)→HomSet󰒚∘(S,P) は全単射である。
3. 任意の被覆篩 S∈JC とその適合族 (af)f∈S に対し、 その融合が一意に存在する。
4. 任意の被覆篩 S∈JC に対し、 図式 PC󰄖f∈S:D→CPD󰄖f∈S:D→Cg:E→DPEepq は Set における等化子である。 ここで e,p,q は、 e : 󰔄a ⟼ (󰔄a·f)f p : (af)f ⟼ (af∘g)f,g q : (af)f ⟼ (af·g)f,g で定まる写像である。

は同値である。

圏 󰒚 に対し、 󰒚 上の前層とその間の自然変換から成る圏を PSh(󰒚) で表す。

景 (󰒚,J) に対し、 󰒚 上の層とその間の自然変換から成る PSh(󰒚) の充満部分圏を ShJ(󰒚) で表す。