証明.

対象 V を 1 つとって固定すると、 鎖 VVV⋯⊥⊥⊥ の余極限が存在するから、 これを L とおく。 これには、 各自然数 n に対し、 図式中の n 番目の V からの構造射 un:V→L が定まっている。 すると、 un=un+1∘⊥=⊥ が成り立つ。

任意に射 f:L→A をとる。 すると、 各自然数 n に対し、 f∘un=f∘⊥=⊥=⊥∘un であるから、 余極限からの射の一意性によって f=⊥ が分かる。 すなわち、 L は始対象である。 次に、 任意に射 g:A→L をとる。 先程の議論により idL=⊥L だから、 g=id∘g=⊥∘g=⊥ となり、 L が終対象であることも分かった。 以上で、 L は零対象となり、 󰒚 が零対象をもつことが示された。

証明.

以降、 自然数 n,m に対して、 fmn := fmm−1∘fm−1m−2∘⋯∘fn+1n (n<m) gmn := gmm+1∘gm+1m+2∘⋯∘gn−1n (n>m) と書く。 さらに、 各自然数 n,m に対し、 pmn:={ pmm∘fmn (n<m) gmn∘pnn (n>m) pnn (n=m) とおく。 すると、 自然数 n,m,l に対し、 plm∘fmn = pln (n<m) glm∘pmn = pln (m>l)♤ が成り立つことが、 帰納法によってすぐに示せる。

図式上部の鎖の余極限 S:=colimnSn をとる。 自然数 n に対し、 これに付随する構造射を u∞n:Sn→S とおく。 すると、 性質 ♤ によって、 自然数 m を固定すると族 (pmn)n は余錐を成す。 したがって、 図式 SnSTmu∞npmnvm∞ を可換にする破線の射 vm∞ がとれる。 再び性質 ♤ と余極限の普遍射の一意性によって、 各自然数 n,m に対して gnm∘vm∞=vn∞ が成り立つから、 族 (vn∞:S→Tn)n は錐を成す。 これが極限を定める錐になっていることを示す。

別の錐 (kn∞:B→Tn)n をとる。 すると、 族 (u∞n+1∘qn+1n∘kn∞)n が単調増加であることが容易に分かるので、 この族の上限をとることができる。 そこで、 k:=󰈚n(u∞n+1∘qn+1n∘kn∞):B→S とおく。 すると、 各自然数 m に対し、 vm∞∘k = vm∞∘󰈚n(u∞n+1∘qn+1n∘kn∞) = 󰈚n(vm∞∘u∞n+1∘qn+1n∘kn∞) = 󰈚n>m(pmn+1∘qn+1n∘kn∞) = 󰈚n>m(gmn+1∘pn+1n+1∘qn+1n∘kn∞) = 󰈚n>m(gmn∘gnn+1∘pn+1n+1∘qn+1n∘kn∞) = 󰈚n>m(gmn∘kn∞) = 󰈚n>mkm∞ = km∞ が成り立つ。 図式で書けば、 BSTmkm∞vm∞k が可換である。 したがって、 あとはこのような k が一意であることを示せば良い。

上の図式を可換にするような別の射 k󰎘:B→S をとる。 すると、 k = 󰈚n(u∞n+1∘qn+1n∘kn∞) = 󰈚n(u∞n+1∘qn+1n∘vn∞∘k󰎘) が成り立つ。 ここで、 族 (u∞n+1∘qn+1n∘vn∞)n が単調増加であることはすぐに示せるので、 k=󰈚n(u∞n+1∘qn+1n∘vn∞)∘k󰎘♡ と変形できる。 ところで、 各自然数 m に対し、 󰈚n(u∞n+1∘qn+1n∘vn∞)∘u∞m = 󰈚n(u∞n+1∘qn+1n∘vn∞∘u∞m) = 󰈚n>m(u∞n+1∘qn+1n∘pnm) = 󰈚n>m(u∞n+1∘qn+1n∘pnn∘fnm) = 󰈚n>m(u∞n+1∘fn+1n∘fnm) = 󰈚n>m(u∞n+1∘fn+1m) = 󰈚n>mu∞m = u∞m が成り立つから、 余極限からの普遍射の一意性によって、 󰈚n(u∞n+1∘qn+1n∘vn∞)=id♧ が成り立つ。 これと式 ♡ によって k=k󰎘 を得る。 以上により、 S=limnTn が示された。

次に、 自己関手 F:󰒚→󰒚 をとり、 これが射集合の有向部分集合の上限を保つとする。 族 (Fu∞n:FSn→FS)n が余錐を成すことは明らかである。

別の錐 (hn∞:FSn→A)n をとる。 すると、 族 (h∞n+1∘Fqn+1n∘Fvn∞)n が単調増加であることが容易に分かるので、 この族の上限をとることができる。 そこで、 h:=󰈚n(h∞n+1∘Fqn+1n∘Fvn∞):FS→A とおく。 すると、 各自然数 m に対し、 h∘Fu∞m = 󰈚n(h∞n+1∘Fqn+1n∘Fvn∞)∘Fu∞m = 󰈚n(h∞n+1∘Fqn+1n∘Fvn∞∘Fu∞m) = 󰈚n>m(h∞n+1∘Fqn+1n∘Fpnm) = 󰈚n>m(h∞n+1∘Fqn+1n∘Fpnn∘Ffnm) = 󰈚n>m(h∞n+1∘Ffn+1n∘Ffnm) = 󰈚n>m(h∞n+1∘Ffn+1m) = 󰈚n>mh∞m = h∞m が成り立つ。 図式で書けば、 FSmFSAh∞mFu∞mh が可換である。 したがって、 あとはこのような h が一意であることを示せば良い。

上の図式を可換にするような別の射 h󰎘:FS→A をとる。 すると、 h = 󰈚n(h∞n+1∘Fqn+1n∘Fvn∞) = 󰈚n(h󰎘∘Fu∞n+1∘Fqn+1n∘Fvn∞) が成り立つ。 ここで、 族 (u∞n+1∘qn+1n∘vn∞)n は単調増加であり、 F は有向部分集合の上限を保つことから特に順序を保つので、 この族の各要素に F を施してできる族も単調増加である。 したがって、 h=h󰎘∘󰈚n(Fu∞n+1∘Fqn+1n∘Fvn∞)♢ と変形できる。 さらに、 式 ♧ の両辺に F を施すことで、 󰈚n(Fu∞n+1∘Fqn+1n∘Fvn∞)=id が分かるから、 これを式 ♢ に代入して h=h󰎘 を得る。 以上により、 FS=colimnFSn が示された。

これにより、 図式 FS0FS1FS2⋯FT0FT1FT2⋯Ff10Ff21Ff32Fg01Fg12Fg23Fp00Fp11Fp22Fq10Fq21Fq32 における上部の鎖の余極限が FS であることが分かったので、 この定理の前半の主張によって、 下部の余鎖の極限も FS である。 すなわち、 FS=limnFTn が示された。

証明.

命題 5.5 によって、 󰒚 は始対象と終対象をともにもつから、 図式 0F0F20⋯1F1F21⋯!F!F2!!󰎘F!󰎘F2!󰎘!󰎙F!󰎙F2!󰎙⊥F⊥F2⊥ を考えることができる。 なお、 !:0→F0,!󰎘:F1→1,!󰎙:0→1 は全て始対象や終対象によって定まる一意な射であって、 ⊥:1→F0 は最小元である。 ここで、 各自然数 n に対し、 Sn:=Fn0Tn:=Fn1 fn+1n:=Fn!gnn+1:=Fn!󰎘pnn:=Fn!󰎘󰎘qn+1n:=Fn⊥ とおくと、 F が射集合の順序を保存することから、 補題 5.6 の 4 つの条件を全て満たしていることが分かる。 したがって、 補題 5.6 により、 上部の鎖の余極限と下部の余鎖の極限がともに存在して一致する。 それを S とおく。

各自然数 n,m に対し、 補題 5.6 の証明の通りに pmn:Sn→Tm,u∞n:Sn→S,vn∞:S→Tn をとる。 すると、 定義によって、 pm+1n+1=Fpmn が成り立つことが容易に示せる。 さらに、 定理 5.3 と定理 5.4 の通りに、 射 σ󰎘:S→FS,τ󰎘:FS→S をとる。

任意の自然数 n,m に対し、 vn∞∘τ󰎘∘σ󰎘∘u∞n = gmm+1∘Fvm∞∘Fu∞n∘fn+1n = gmm+1∘Fpmn∘fn+1n = gmm+1∘pm+1n+1∘fn+1n = pmn = vm∞∘u∞n が成り立つ。 これより、 S が余極限かつ極限であることから、 普遍射の一意性によって τ󰎘∘σ󰎘=id を得る。 同様の計算により、 FS が余極限かつ極限であることから、 σ󰎘∘τ󰎘=id も得られる。

以上により、 σ󰎘 と τ󰎘 は互いに逆射だから同型射である。 したがって、 定理 5.3 によって (S,σ󰎘−1) は F-始代数であり、 定理 5.4 によって (S,σ󰎘) は F-終余代数である。 すなわち、 F は代数的コンパクトである。