Avendia19
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日記 (2019 年 11 月 23 日)

11 月 16 日では、 始代数や終余代数が様々なデータ構造を定めることを見たが、 具体的な構成については 1 つ例を挙げただけで詳しく触れなかった。 ということで、 今回は Adámek1 による構成を紹介しようと思う。 なお、 基本的な圏論の知識は仮定する。

この構成では、 以下のような形の図式の余極限を考える。

1

󰒚 において、 S0S1S2f0f1f2 の形の図式を 󰒚 上のchain という。

より簡潔に言えば、 圏 󰒚 上の鎖とは、 自然数全体の集合 󱀍 を通常の大小関係で圏と見なしたときの関手 K:󱀍󰒚 のことである。

2

󰒚 上の自己関手 F:󰒚󰒚 が、 2 条件

をともに満たすとする。 このとき、 󰒚 の鎖 0F0F20!F!F2! の余極限が存在すれば、 それは F-始代数を与える。 なお、 !:0F0 は始対象からの唯一の射である。

定理中の図式の余極限を S とおく。 すると、 各自然数 n に対し、 構造射 un:Fn0S が存在する。 ここで、 FunFn!:Fn0FS を考えると、 これは F の余錐を構成する。 したがって、 余極限の普遍性によって、 図式 Fn0SFn+10FSunFn!Funσ󰎘 を可換にする射 σ が存在する。 仮定から、 F は鎖の余極限を保存するので、 特に S を保存する。 すなわち、 ここで作られた σ は同型射であるから、 その逆射 σ:=σ󰎘1 がとれる。 すると、 (S,σ)F-始代数になる。

このことを証明するため、 任意に F-代数 (A,α) をとる。 各自然数 n に対し、 射 hn:Fn0A を、 h0:=!hn:=αFhn1 によって帰納的に定める。 すると、 帰納法によって、 Fn0Fn+10AFn!hnhn+1 が可換になることが分かるので、 hn たちは F の余錐を構成する。 したがって、 図式 Fn0SAunhnf を可換にする射 f が一意に存在する。 その一方で、 これまでの図式の可換性によって、 Fn0SFn+10FSFAAunFn!hnσ󰎘FunFhnhn+1Ffα は可換であるから、 普遍性による分解の一意性によって、 f=αFfσ󰎘 が成り立つ。 σ=σ󰎘1 であったことを思い出すと、 これはすなわち、 FSFASAFffσα が可換であるということであり、 f は代数の射であるということである。 また、 同じく普遍性による分解の一意性により、 このような代数の射 f は一意である。 したがって、 (S,σ)F-始代数であることが示された。

これにより、 定理中の条件を満たす圏と自己関手を扱っているのであれば、 その圏における鎖の余極限の具体的な構成を用いて、 始代数も具体的に書き下すことができる。

例えば、 前回と同様 Set を挙げよう。 Set は当然始対象 (空集合) をもち、 さらにフィルター余極限が有限極限と交換することから、 有限積 (普通の直積) と余積 (非交和) だけから構成された自己関手であれば、 これは鎖の余極限を保存する。 特に、 前回例として挙げた FV は鎖の余極限を保存するので、 この定理の構成が利用できる。 各自然数 n に対し、 FVn=1+V+V2++Vn と計算でき、 Fn!:FVnFVn+1 はここに自然に考えられる埋め込みになる。 したがって、 この余極限は、 colimn󱀍FVn=1+V+V2+=󰄘n󱀍Vn となる。 これは V の元からなる有限列全体の集合であるから、 前回の話と合致している。

参考文献