定義 2.1.

対称複圏 󰒚 および圏 󰒪 に対し、 以下のデータが定まっているとする。

• 󰒚 の対象列 ⟨Γ⟩ に対し、 󰒪 の対象 Ω⟨Γ⟩ が定まっている。
• 󰒚 の複射 f:⟨Γ⟩→A と 󰒚 の対象列 ⟨Φ⟩,⟨Φ󰎘⟩ に対し、 󰒪 の射 Ω⟨Φ⟩⟨Φ󰎘⟩f:Ω⟨Φ,A,Φ󰎘⟩→Ω⟨Φ,Γ,Φ󰎘⟩ が定まっている。
• 󰒚 の対象列の置換 σ:⟨Γ󰎘⟩→⟨Γ⟩ に対し、 󰒪 の射 Ωσ:Ω⟨Γ⟩→Ω⟨Γ󰎘⟩ が定まっている。

これらのデータは、 次の条件を満たすとする。

• 󰒚 の対象 A と 󰒚 の対象列 ⟨Φ⟩,⟨Φ󰎘⟩ に対し、 󰒪 において、 Ω⟨Φ⟩⟨Φ󰎘⟩idA=idΩ⟨Φ,A,Φ󰎘⟩ が成り立つ。
• 󰒚 の対象列 ⟨Γ⟩ に対し、 󰒪 において、 Ωid⟨Γ⟩=idΩ⟨Γ⟩ が成り立つ。
• 󰒚 の対象列の置換 σ:⟨Γ󰎘⟩→⟨Γ⟩, σ󰎘:⟨Γ󰎙⟩→⟨Γ󰎘⟩ に対し、 󰒪 において、 Ω(σ󰎘󰖡σ)=Ωσ󰖡Ωσ󰎘 が成り立つ。
• 󰒚 の複射 f:⟨Γ⟩→A, g:⟨Δ⟩→B と 󰒚 の対象列 ⟨Φ⟩,⟨Φ󰎘⟩ に対し、 󰒪 において、 Ω⟨Φ⟩⟨Φ󰎘,B,Φ󰎙⟩f󰖡Ω⟨Φ,Γ,Φ󰎘⟩⟨Φ󰎙⟩g=Ω⟨Φ,A,Φ󰎘⟩⟨Φ󰎙⟩g󰖡Ω⟨Φ⟩⟨Φ󰎘,Δ,Φ󰎙⟩f が成り立つ。
• 󰒚 の複射 f:⟨Γ⟩→A, g:⟨Ψ,A,Ψ󰎘⟩→B と 󰒚 の対象列 ⟨Φ⟩,⟨Φ󰎘⟩ に対し、 󰒪 において、 Ω⟨Φ⟩⟨Φ󰎘⟩(f󰖡Ag)=Ω⟨Φ⟩⟨Φ󰎘⟩g󰖡Ω⟨Φ,Ψ⟩⟨Ψ󰎘,Φ󰎘⟩f が成り立つ。
• 󰒚 の複射 f:⟨Γ⟩→A と 󰒚 の対象列 ⟨Φ⟩,⟨Φ󰎘⟩ および 󰒚 の対象列の置換 σ:⟨Γ󰎘⟩→⟨Γ⟩ に対し、 󰒪 において、 Ω⟨Φ⟩⟨Φ󰎘⟩(σ·f)=Ω⟨Φ⟩⟨Φ󰎘⟩f󰖡Ω󰔃σ が成り立つ。 ここで、 󰔃σ:⟨Φ,Γ󰎘,Φ󰎘⟩→⟨Φ,Γ,Φ󰎘⟩ は σ から得られる置換である。
• 󰒚 の複射 f:⟨Γ⟩→A と 󰒚 の対象列 ⟨Φ⟩,⟨Φ󰎘⟩ および 󰒚 の対象列の置換 σ:⟨Ψ,A,Ψ󰎘⟩→⟨Φ,A,Φ󰎘⟩ に対し、 󰒪 において、 Ωσ󰖡Ω⟨Ψ⟩⟨Ψ󰎘⟩f=Ω⟨Φ⟩⟨Φ󰎘⟩f󰖡Ω󰔃σ が成り立つ。 ここで、 󰔃σ:⟨Ψ,Γ,Ψ󰎘⟩→⟨Φ,Γ,Φ󰎘⟩ は σ から得られる置換である。

このとき、 Ω を 󰒚 上の 󰒪-値反変加群 (contravariant module) といい、 Ω:󰒚∘⇸󰒪 で表す。

定義 2.2.

対称複圏 󰒚 とそれ上の Poly-値反変加群 Ω:󰒚∘⇸Poly の組 (󰒚,Ω) を線型超教義 (linear hyperdoctrine) という。

定義 2.3.

線型超教義 (󰒚,Ω) を固定する。 󰒚 の対象 A,󰔄A および Ω⟨A,󰔄A⟩ の対象 a から成る組 (A,󰔄A,a) を双対組 (duality triple) という。

定義 2.4.

線型超教義 (󰒚,Ω) 上の双対組から成る 2 つの列 ⟨(A1,󰔄A1,a1),⋯,(Am,󰔄Am,am)⟩, ⟨(B1,󰔄B1,b1),⋯,(Bn,󰔄Bn,bn)⟩ を固定する。 各 1≤j≤n および 1≤i≤m に対して、 󰒚 の複射 fj: ⟨A1,⋯,Am,󰔄B1,^j⋯,󰔄Bn⟩→Bj gi: ⟨A1,^i⋯,Am,󰔄B1,⋯,󰔄Bn⟩→󰔄Ai をとる。 さらに、 Ω⟨A1,⋯,Am,󰔄B1,⋯,󰔄Bn⟩ の多射 u:⟨g1∗a1,⋯,gn∗an⟩→⟨f1∗b1,⋯,fm∗bm⟩ をとる。 これらが成す組 (f1,⋯,fm∣g1,⋯,gn∣u) を双対組の多射 (polymorphism of duality triples) という。

補題 2.5.

線型超教義 (󰒚,Ω) を固定する。 双対組の多射 (f1,⋯,fm∣g1,⋯,gn∣u): ⟨(A1,󰔄A1,a1),⋯,(Am,󰔄Am,am)⟩→⟨(B1,󰔄B1,b1),⋯,(Bn,󰔄Bn,bn)⟩ (r1,⋯,rp∣s1,⋯,sq∣v): ⟨(C1,󰔄C1,c1),⋯,(Cp,󰔄Cp,cp)⟩→⟨(D1,󰔄D1,d1),⋯,(Dq,󰔄Dq,dq)⟩ において、 ある 1≤󰔃j≤n,1≤󰔃k≤p について (B󰔃j,󰔄B󰔃j,b󰔃j)=(C󰔃k,󰔄C󰔃k,c󰔃k) であるとする。 このとき、 その合成となる双対組の多射 ⟨(A1,󰔄A1,a1),⋯,(Am,󰔄Am,am),(C1,󰔄C1,c1),^󰔃k⋯,(Cp,󰔄Cp,cp)⟩→⟨(B1,󰔄B1,b1),^󰔃j⋯,(Bn,󰔄Bn,bn),(D1,󰔄D1,d1),⋯,(Dq,󰔄Dq,dq)⟩ が定まり、 この演算は多圏の合成の公理を全て満たす。