日記 (2019 年 11 月 9 日)
11 月 8 日の準備を引き継いで、 本題であった余自由余代数の構成を行う。 記号などは 11 月 8 日と同じものを用いる。
まず、 自由性の定義をおさらいしておく。 自由代数とは、 忘却関手の左随伴関手によって与えられるものであった。
よく知られているように、 自由代数はテンソル代数として与えられる。
すなわち、 線型空間
今構成しようとしている余自由余代数とは、 この双対的概念である。 すなわち、 忘却関手の右随伴関手によって与えられるものである。
定義はこれで良いのだが、 議論を簡単にするために初等的に言い換えた定義も述べておく。 これが上の定義と同値であることは簡単に示せる。
線型空間
では、 余自由余代数の構成に取り掛かる。
まず、 任意の線型空間
線型空間
線型空間
任意に余代数
さて、
線型空間
線型空間
補題 2.5 の証明はまだ私もきちんと行ってないので省略したが、 たぶんそんなに難しくないと思うので、 できたらこの日記に追記しておこうと思う。
この 2 日間で述べた余自由余代数の構成は、 Sweedler†1 によるものである。 これ以外にもいくつか (当然同型だが) 別の構成方法は知られている。 例えば Block–Leroux†2 は、 表現可能な線型写像という概念を定義し、 多項式環からテンソル代数への表現可能な線型写像が成す空間として構成している。 この構成は Sweedler のものよりもシンプルだが、 表現可能性という条件がそれほど構成的でないのが欠点に思える。 また、 Murfet†3 は、 局所コホモロジーを用いたアプローチを行っている。 これは私の知識が足りず全く理解できていない。
参考文献
- M. E. Sweedler (1969) 『Hopf Algebras』 Cornell University
- R. E. Block, P. Leroux (1985) 「Generalized dual coalgebras of algebras, with application to cofree coalgebras」 『Journal of Pure and Applied Algebra』 36:15–21
- D. Murfet (2015) 「On Sweedler's cofree cocommutative coalgebra」 『Journal of Pure and Applied Algebra』 219(12):5289–5304