証明.

射 ζX:Hom󰒛(X,A)⊙KX→KA がコエンドの普遍性を満たすことを示す。 任意に双自然な射の族 φX:Hom󰒛(X,A)⊙KX→S をとる。 このとき、 任意の 󰒛 の対象 X に対し、 Hom(X,A)⊙KXKASζφh を可換にするような h が一意に存在することを示せば良い。 テンソル対象の対応によって、 これは、 Hom(X,A)Hom(KX,KA)Hom(KX,S)K󰔃φh∘- を可換にするような h が一意に存在することと同値である。 ここで、 テンソル対象によって φX と対応する写像を 󰔃φX で書いた。 この図式は h:=󰔃φAidA とおくと可換になり、 φ の双自然性から、 そのような h はこれのみである。 以上で示された。

証明.

ζX がコエンドを定めるとは、 任意の双自然な射の族 φX:Hom󰒛(MX,A)⊙MX→B に対し、 全ての 󰒚 の対象 X について、 Hom(MX,A)⊙MXABζφh を可換にする h が一意に存在するということである。 しかしこのことは、 テンソル対象の対応を考えると、 任意の自然な射の族 ψX:Hom󰒛(MX,A)→Hom󰒛(MX,B) に対して、 Hom(MX,A)Hom(MX,A)Hom(MX,B)ψh∘- を可換にする h が一意に存在するということと同値である。 これは、 まさに M が稠密であるということである。

証明.

随伴 K⊣R の単位と余単位をそれぞれ η:id󰒛⇒R∘K,ε:K∘R⇒id󰒜 で表すことにする。

任意の自然変換 φ:K∘M⇒L∘M をとる。 󰒚 の対象 X と 󰒛 の対象 A に対し、 合成 Hom(MX,A) R∘L Hom(RLMX,RLA) -∘RφX Hom(RKMX,RLA) -∘ηMX Hom(MX,RLA) を考え、 これを βX,A とおく。 βX,A は X に関して自然なので、 M の稠密性を保証するエンドの普遍性によって、 これに対応する射として γA:A→RLA が得られ、 βX,A=γA∘- が成り立つ。 γA はさらに A に関して自然なので、 自然変換 γ:id󰒛⇒R∘L を定める。

ここで、 随伴の性質によって、 Nat(K,L) ⟶ Nat(id󰒛,R∘L) ψ ⟼ (R∗ψ)∘η♤ は全単射である。 そこで、 上で構成した γ:id󰒛⇒R∘L に対応する自然変換を ψ:K⇒L とすると、 これが存在を示したかったものになる。

実際、 󰒚 の対象 X に対し、 上の構成で A=MX とおいて βX,MX の idMX での値を考えると、 γMX=βX,MXidMX=RφX∘ηMX が得られる。 一方、 ψ は全単射 ♤ によって γ と対応する自然変換であったから、 γMX=RψMX∘ηMX が成り立つ。 この 2 つの式を比べると、 随伴の性質によって φX=ψMX が分かり、 したがって φ=ψ∗M が示された。

証明.

(󰒛,⊗,⊤) 上のモノイダル整合構造 (󰔄α,󰔄λ,󰔄ρ) をとる。 󰒚 の対象 A,B,C,Z に対し、 以下の 3 つの図式を考える。 P(X,A,B)×XP(Z,X,C)P(X,B,C)×XP(Z,A,X)Hom(MX,MA⊗MB)×XHom(MZ,MX⊗MC)Hom(MX,MB⊗MC)×XHom(MZ,MA⊗MX)Hom(MZ,(MA⊗MB)⊗MC)Hom(MZ,MA⊗(MB⊗MC))αzz󰔄α∘- JX×XP(Z,X,A)Hom(Z,A)Hom(MX,⊤)×XHom(MZ,MX⊗MA)Hom(MZ,⊤⊗MA)Hom(MZ,MA)λMz󰔄λ∘- JX×XP(Z,A,X)Hom(Z,A)Hom(MX,⊤)×XHom(MZ,MA⊗MX)Hom(MZ,MA⊗⊤)Hom(MZ,MA)ρMz󰔄ρ∘-C 与えられた条件によって、 これらの図式中の垂直方向の射は全て同型である。 したがって、 これらの図式を可換にするような自然な同型写像 α,λ,ρ が存在する。 これが (󰒚,P,J) 上のプロモノイダル整合構造 (α,λ,ρ) になることを示す。

定理の 2 つ目の条件のもとでは、 プロモノイダル整合構造を定める図式 P の可換性は、 Hom(MZ,((MA⊗MB)⊗MC)⊗MD)Hom(MZ,(MA⊗(MB⊗MC))⊗MD)Hom(MZ,(MA⊗MB)⊗(MC⊗MD))Hom(MZ,MA⊗((MB⊗MC)⊗MD))Hom(MZ,MA⊗(MB⊗(MC⊗MD)))󰔄α∘-(󰔄α⊗id)∘-󰔄α∘-󰔄α∘-(id⊗󰔄α)∘- Hom(MZ,(MA⊗⊤)⊗MB)Hom(MZ,MA⊗(⊤⊗MB))Hom(MZ,MA⊗MB)󰔄α∘-(󰔄ρ⊗id)∘-(id⊗󰔄λ)∘-M󰎘 の可換性と同値になる。 今回の場合、 モノイダル整合構造を定める図式 M が可換であることから、 上の図式も可換になる。 よって、 組 (α,λ,ρ) はプロモノイダル整合構造となる。

証明.

モノイダル圏 󰒛 をとる。 M=id󰒛 とすると、 命題 7 によって、 定理 12 の条件中にある Yoneda 射は同型になる。 したがって、 定理 12 を適用すれば良い。

証明.

定理 12 の逆の構成を行う。 (󰒚,P,J) 上のプロモノイダル整合構造 (α,λ,ρ) をとる。 ここで、 図式 C の垂直な射は全て同型だから、 これらの図式を可換にするような自然な同型写像 󰔄αA,B,C󰎘: (MA⊗MB)⊗MC → MA⊗(MB⊗MC) 󰔄λA󰎘: ⊤⊗MA → MA 󰔄ρA󰎘: MA⊗⊤ → MA が得られる。 ここで命題 10 を用いると、 これらの自然な同型写像は、 󰔄αA,B,C: (A⊗B)⊗C → A⊗(B⊗C) 󰔄λA: ⊤⊗A → A 󰔄ρA: A⊗⊤ → A に持ち上げることができる。 例えば、 󰔄λ を得るには以下のようにすれば良い。 K:=⊤⊗-,L:=id󰒛 とおくと、 仮定によって M は稠密で K は右随伴をもつので、 命題 10 の条件が満たされる。 そこで、 自然変換 󰔄λ󰎘:K∘M⇒L∘M に対して命題 10 を使えば、 自然変換 󰔄λ:K⇒L であって 󰔄λ󰎘=󰔄λ∗M なるものが得られる。

さて、 このように定めると、 󰔄α,󰔄λ,󰔄ρ は図式 M󰎘 を可換にする。 ここで、 M は稠密なので、 これらの図式の可換性は図式 M の可換性と同値になり、 組 (󰔄α,󰔄λ,󰔄ρ) はモノイダル整合構造となる。

証明.

y が忠実充満であることは、 Yoneda の補題から従うよく知られた事実である。 y が稠密であることを示す。

󰂗󰒚 の対象 F をとる。 まず、 Yoneda の補題によって、 󰄵X(Hom(yX,F)⊙yX)≅󰄵X(FX⊙yX) が成り立つ。 󰒚 の対象 Z に対して、 この右辺の Z での値を考えると、 命題 7 によって、 (󰄵X(FX⊙yX)(Z ≅ 󰄵X(FX⊙yX)Z ≅ 󰄵X(FX×Hom(Z,X)) ≅ FZ が分かる。 したがって、 󰄵X(Hom(yX,F)⊙yX)≅F が示された。 このコエンドを与える射は命題 9 のものと同一なので、 命題 9 によって y は稠密である。

証明.

󰂗󰒚 の対象 F,H に対し、 F⊸H: 󰒚∘ ⟶ Set Y ⟼ 󰄵X󰄵Z(P(Z,X,Y)⇀(FX⇀HZ)) とすると、 これは関手 :󰂗󰒚∘×󰂗󰒚→󰂗󰒚 を定める。 ここで、 ⇀ は集合の冪を表す。 このとき、 任意の 󰂗󰒚 の対象 F,G,H に対し、 Hom(F⊗G,H) ≅ 󰄵ZHom((F⊗G)Z,HZ) = 󰄵ZHom(󰄵X󰄵Y(FX×GY×P(Z,X,Y)),HZ( ≅ 󰄵Z󰄵X󰄵YHom(FX×GY×P(Z,X,Y),HZ) ≅ 󰄵Z󰄵X󰄵YHom(GY,P(Z,X,Y)⇀(FX⇀HZ)) ≅ 󰄵YHom(GY,󰄵X󰄵Z(P(Z,X,Y)⇀(FX⇀HZ))( = 󰄵YHom(GY,(F⊸H)Y) ≅ Hom(G,F⊸H) が成り立ち、 この同型は G,H に関して自然である。 これはすなわち、 関手 F⊗-:󰂗󰒚→󰂗󰒚 は右随伴 F⊸-:󰂗󰒚→󰂗󰒚 をもつことを意味している。 -⊗F についても同様である。

証明.

󰒚 の対象 A,Z をとる。 補題 17 によって、 関手 -⊗yA:󰂗󰒚→󰂗󰒚 は右随伴をもつ。 さらに、 関手 Hom󰂗󰒚(yZ,-):󰂗󰒚→Set も右随伴をもつ。 実際、 L: Set ⟶ 󰂗󰒚 S ⟼ Hom󰒚(-,Z)⇀S とすると、 これは Hom󰂗󰒚(yZ,-) の右随伴になる。 したがって、 これらの合成 K:=Hom󰂗󰒚(yZ,-⊗yA):󰂗󰒚→Set は右随伴をもち、 余極限を保存する。 特に、 K はコエンドとテンソル積と交換する。

さて、 任意に 󰂗󰒚 の対象 F をとる。 補題 15 によって y は稠密なので、 命題 9 を使うと、 F≅󰄵X(Hom(yX,F)⊙yX) が成り立つことが分かる。 この両辺に K を適用すると、 K がコエンドとテンソル積と交換することから、 KF ≅ K(󰄵X(Hom(yX,F)⊙yX)( ≅ 󰄵XK(Hom(yX,F)⊙yX) ≅ 󰄵X(Hom(yX,F)×KyX) が得られる。 すなわち、 Hom(yZ,F⊗yA)≅Hom(yX,F)×XHom(yZ,yX⊗yA) が成り立つ。 さらに、 射の構成を追うことで、 この同型を与える射が Yoneda 射になっていることが分かる。 以上により、 補題中の 1 つ目の射が同型であることが示された。 2 つ目の射についても同様である。

証明.

まず、 定理 12 の通りに ⊗,J から P󰎘,J󰎘 を構成する。 すなわち、 P󰎘: 󰒚∘×󰒚×󰒚 ⟶ Set (Z,A,B) ⟼ Hom󰂗󰒚(yZ,yA⊗yB) J󰎘: 󰒚∘ ⟶ Set Z ⟼ Hom󰂗󰒚(yZ,J) と定める。 すると、 󰒚 の対象 A,B,Z に対し、 Day 畳み込みの定義と命題 7 によって、 P󰎘(Z,A,B) = Hom󰂗󰒚(yZ,yA⊗yB) ≅ (yA⊗yB)Z = 󰄵X󰄵Y(Hom(X,A)×Hom(Y,B)×P(Z,X,Y)) ≅ P(Z,A,B) が成り立つ。 すなわち、 P と P󰎘 は同型である。 さらに、 Yoneda の補題によって、 J と J󰎘 も同型であることが分かる。

さて、 補題 15, 補題 17, 補題 18 によって、 定理 12, 定理 14 の計 4 条件が全て成り立つことが分かっている。 したがって、 定理 14 を用いれば、 この定理の主張が示される。

証明.

モノイダル圏 󰒚 をとる。 系 13 によって、 󰒚 はプロモノイダル圏の構造をもつ。 定理 19 を用いて、 この構造に対応する 󰂗󰒚 上のモノイダル圏の構造をとると、 Yoneda 埋め込み y:󰒚→󰂗󰒚 によって、 󰒚 は 󰂗󰒚 に埋め込める。 補題 17 によって、 󰂗󰒚 上のモノイダル圏の構造は双閉であり、 構成から明らかに y はモノイダル圏の構造を保存する。 以上により、 主張が示された。