証明.

極限の普遍性を愚直に確かめれば良い。

証明.

󰒝 の元 F を 1 つ固定し、 (si:S→Fi)i∈󰒠 を F の極限錐とする。 このとき、

1. 任意の Set󰒪∘ の射 f:colimiHom(Fi,-)→P に対して、 射 g:Hom(S,-)→A が一意に存在し、 colimiHom(Fi,-)Hom(S,-)AfmFg は可換である。
2. 任意の余錐 (fi:Hom(Fi,-)→A)i∈󰒠l に対して、 射 g:Hom(S,-)→A が一意に存在し、 任意の 󰒠l の対象 i に対し、 Hom(Fi,-)Hom(S,-)Aflmg は一斉に可換である。
3. 任意の族 (xi∈PFi)i∈󰒠 であって各 󰒠 の射 u:i→i󰎘 について (PFu)xi=xi󰎘 が成り立っているものに対して、 元 x∈PS が一意に存在し、 任意の 󰒠 の対象 i に対し、 (Psi)x=xi が成り立つ。
4. 補題 10.4 の表示において、 Ш: PS ⟶ limiPFi x ⟼ ((Psi)x)i∈󰒠 は全単射である。
5. P は F の極限を保存する。

は順に同値である。 実際、 主張 1 と主張 2 の同値性は余極限の普遍性から従い、 主張 2 と主張 3 の同値性は Yoneda の補題から従い、 主張 3 と主張 4 と主張 5 は単なる言い換えである。

さて、 P が 󰒤⊥ に属するとは、 任意の 󰒝 の元 F に対して主張 1 が成り立つことであった。 今述べた内容により、 このことは、 任意の 󰒝 の元 F に対して主張 5 が成り立つことと同値である。 この同値性がまさに示したかった内容である。

証明.

圏 󰒚 の直交クラス 󰒘 をとる。 定義から、 󰒚 の射から成るクラス 󰒤 が存在して、 󰒘=󰒤⊥ と書ける。

󰒘 の対象の小図式 F:󰒠→󰒚 をとり、 その極限 (ci:C→Fi)i∈󰒠 が存在したとする。 C が 󰒤⊥ に属することを示せば良い。 そのために、 任意に 󰒤 の元 m:M→N および 󰒚 の射 f:M→C をとる。 すると、 各 󰒠 の対象 i に対して、 Fi が 󰒤⊥ に属することから、 ある射 gi:N→Fi が一意に存在して、 MNFif󰖡cimgi は可換である。 その一意性によって、 (gi:N→Fi)i∈󰒠 は F の錐になる。 したがって、 極限の普遍性により、 ある射 g:C→N が存在して、 任意の 󰒠 の対象 i に対して、 NCFiciggi は一斉に可換である。 すると、 任意の 󰒠 の対象 i に対して、 f󰖡ci=m󰖡gi=m󰖡g󰖡ci が成り立つが、 (ci)i∈󰒠 は極限錐だから、 これより f=m󰖡g を得る。 このような g が一意であることも容易に分かる。

証明.

圏 󰒚 の κ-直交クラス 󰒘 をとる。 定義から、 始域と終域がともに κ-到達可能である 󰒚 の射から成るクラス 󰒤 が存在して、 󰒘=󰒤⊥ と書ける。

󰒘 の対象の κ-有向図式 F:󰒠→󰒚 をとり、 その余極限 (ci:Fi→C)i∈󰒠 が存在したとする。 C が 󰒤⊥ に属することを示せば良い。 そのために、 任意に 󰒤 の元 m:M→N および 󰒚 の射 f:M→C をとる。 M は κ-表示可能だから、 ある 󰒠 の対象 i と射 h:M→Fi が存在して、 MCFihfci は可換である。 さらに、 Fi は 󰒤⊥ の元なので、 ある射 p:N→Fi が存在して、 MNFihmp も可換である。 すると、 f=m󰖡(p󰖡ci) となり、 示したかった分解が得られた。

この分解の一意性を示すため、 射 g,g󰎘:N→C によって f=m󰖡g=m󰖡g󰎘 と 2 通りに分解できたとする。 N は κ-表示可能だから、 ある 󰒠 の対象 i,i󰎘 および射 h:N→Fi, h󰎘:N→Fi󰎘 が存在して、 NCFihgciNCFi󰎘h󰎘gci󰎘 を可換にできる。 すると、 (m󰖡h)󰖡ci=(m󰖡h󰎘)󰖡ci󰎘 が成り立つ。 M は κ-表示可能だから、 このような分解の本質的一意性によって、 ある 󰒠 の対象 󰔄i が存在して、 i≤󰔄i かつ i󰎘≤󰔄i であって、 m󰖡h󰖡F❲i↪󰔄i❳=m󰖡h󰎘󰖡F❲i󰎘↪󰔄i❳ が成り立つ。 F󰔄i は 󰒤⊥ の元なので、 今度はこれを経由する分解の一意性によって、 h󰖡F❲i↪󰔄i❳=h󰎘󰖡F❲i󰎘↪󰔄i❳ が得られる。 すると、 g = h󰖡ci = h󰖡F❲i↪󰔄i❳󰖡c󰔄i = h󰎘󰖡F❲i󰎘↪󰔄i❳󰖡c󰔄i = g󰎘 が成り立つ。