証明.

以下、 集合 R は常に固定する。 順序数 α と写像 r:⋃ξ<αRξ→R をとる。 写像 f∈Rα に対して、

• 任意の順序数 ξ<α に対して f(ξ)=r(f|ξ) が成り立つ。

という条件のことを、 条件 ♤α(r) と呼ぶことにする。 定理の主張は、 条件 ♤α(r) を満たす写像 f∈Rα が一意に存在することである。

まず、 各順序数 α と写像 r:⋃ξ<αRξ→R に対して、 条件 ♤α(r) を満たす f の一意性を示す。 そのため、 条件 ♤α(r) を満たす f,g∈Rα をとる。 ここで、 Z:={ξ∈α∣f(ξ)=g(ξ)}⊆α とおき、 超限帰納法によって Z=α を示す。 これが示されれば、 f=g となって一意性が得られる。

任意に ξ∈α をとり、 O(ξ)⊆Z であるとする。 Z の定義により、 これは任意の η<ξ について f(η)=g(η) であるということだが、 それはすなわち f|ξ=g|ξ が成り立つということである。 f と g は条件 ♤α を満たすから、 f(ξ)=r(f|ξ)=r(g|ξ)=g(ξ) となり、 ξ∈Z が示された。

次に、 任意の順序数 α と写像 r:⋃ξ<αRξ→R に対して、 条件 ♤α(r) を満たす f の存在を示す。 これは背理法による。 そこで、 ある順序数 α と写像 r:⋃ξ<αRξ→R が存在して、 条件 ♤α(r) を満たす f が存在しないと仮定する。 さらに、 α はそのような順序数のうち最小のものとする。 α が後続順序数か極限順序数かに応じて場合分けする。

α が後続順序数のとき。 このとき、 ある順序数 β によって α=β+1 と書ける。 β<α であるから、 α の最小性によって、 条件 ♤β(r) を満たす写像 fβ∈Rβ は存在する。 そこで、 fα: β+1 ⟶ R ξ ⟼ { fβ(ξ) (ξ<β) r(fβ) (ξ=β) とおくと、 この写像 f∈Rα は条件 ♤α(r) を満たすことが容易に分かる。 これは矛盾である。

α が極限順序数のとき。 任意の順序数 ξ<α に対して、 α の最小性によって、 条件 ♤ξ(r) を満たす写像 fξ∈Rξ は存在する。 α が極限順序数であることから、 ξ+1<α であることに注意して、 fα: α ⟶ R ξ ⟼ fξ+1(ξ) とおく。

ここでまず、 任意の順序数 ξ<α に対して fξ+1|ξ=fα|ξ が成り立つことを示す。 任意に元 η∈ξ をとると、 fξ+1|η+1 と fη+1 はともに条件 ♤η+1(r) を満たす。 すでに示したようにそのような写像は一意だから、 fξ+1|η+1=fη+1 が成り立つ。 したがって、 特に fξ+1(η)=fξ+1|η+1(η)=fη+1(η)=fα(η) が成り立つ。 η は任意にとったので、 fξ+1|ξ=fα|ξ が示された。

この事実を用いると、 任意の順序数 ξ<α に対して、 fα(ξ)=fξ+1(ξ)=h(fξ+1|ξ)=h(fα|ξ) が成り立つので、 fα は条件 ♤α(r) を満たす。 これは矛盾である。

どちらの場合でも矛盾が導かれたので、 これで証明が完了した。

証明.

まず、 󰒝:={ord(Y,⪯)| Y∈󱁍(X),⪯∈󱁍(X×X) ⪯ は Y 上の整列順序{ とおくと、 置換公理図式によってこれは集合である。 これは、 󰒝={ξ| ξ は順序数 単射 f:ξ→X が存在する{ とも書ける。 ここで、 順序数 α であって α∉󰒝 なるものをとって固定する。 そのためには、 例えば α:=⋃󰒝+1 とすれば良い。

ある集合 ⊥ であって ⊥∉X なるものをとる。 例えば ⊥:=X とすれば良い。 さらに、 󱁍(X)∖{∅} 上の選択関数を Γ:󱁍(X)∖{∅}→X とする。 このとき、 r: 󰆊ξ<α(X∪{⊥})ξ ⟶ X∪{⊥} h ⟼ { Γ(X∖Imh) (X∖Imh≠∅) ⊥ (X∖Imh=∅) と定める。 すると、 再帰定理により、 写像 f∈(X∪{⊥})α が存在し、 任意の順序数 ξ<α に対して、 f(ξ)=r(f|ξ)={ Γ(X∖f[ξ]) (X∖f[ξ]≠∅) ⊥ (X∖f[ξ]=∅)♡ が成り立つ。

ここで、 順序数 β≤α に対して、 ⊥∉f[β] ならば f|β:β→X は単射であることを示す。 任意に相異なる元 ξ,ξ󰎘∈β をとる。 ξ<ξ󰎘 と仮定して良い。 すると、 ⊥∉f[β] であることから f(ξ󰎘)≠⊥ なので、 式 ♡ によって、 f(ξ󰎘)=Γ(X∖f[ξ󰎘])∈X∖f[ξ󰎘] が成り立つ。 一方、 ξ<ξ󰎘 より ξ∈ξ󰎘 であるから、 f(ξ)∈f[ξ󰎘] が成り立つ。 これより、 f(ξ)≠f(ξ󰎘) でなければならない。 以上により、 f|β が単射であることが示された。

次に、 ⊥∈f[α] であることを示す。 仮に ⊥∉f[α] であるとすると、 上の議論によって f|α:α→X は単射である。 したがって、 󰒝 の定義によって α∈󰒝 であるが、 そもそも α は α∉󰒝 が成り立つようにとったのだからこれは矛盾である。 以上により、 ⊥∈f[α] が示された。

このことから、 S:={β∈α∣f(β)=⊥}⊆α とおくと S≠∅ が成り立つので、 β:=minS がとれる。 β の最小性によって ⊥∉f[β] であるから、 前の議論によって f|β:β→X は単射である。 また、 f(β)=⊥ であるから、 式 ♡ により X∖f[β]=∅ でなければならないので、 f|β:β→X は全射でもある。 以上をまとめると、 f|β:β→X は全単射であるから、 X 上の関係 ⪯ を、 x⪯x󰎘:⟺f−1(x)≤f−1(x󰎘) で定めれば、 β が整列集合であることからこれは整列順序になる。 これが示したかったことであった。