Avendia19
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日記 (2019 年 8 月 2 日)

前回は、 景 (󰒚,J) に対して、 前層から層を作る関手 a:PSh(󰒚)ShJ(󰒚) を定義した。 今回は、 これが包含関手 i:ShJ(󰒚)PSh(󰒚) の左随伴になっていることを示す。

1

(󰒚,J) をとる。 前層 P:󰒚Set と対象 C に対し、 射 ηPC:PCP+C を、 合成 PCHom(yC,P)Hom(C,P)colimSHom(S,P)P+CyPCiC として定める。 ここで、 yPC は Yoneda の定理による同型射で、 iC は余極限に定まる構造射の 1 つである。 これが定める自然変換を ηP:PP+ とする。

層化関手の随伴性の証明に直接は関係してこないが、 ηP が単射もしくは同型射かどうかは P が分離前層になるか層になるかに密接に関わるので、 ここで証明しておく。

2

(󰒚,J) をとる。 前層 P:󰒚Set に対し、 P が分離前層であることと ηP:PP+ が単射であることは同値である。

ηP:PP+ が単射であるとは、 任意の対象 C に対して ηPC:PCP+C が単射であるということである。 ここで、 各対象 C に対し、 定義から ηPC=iCyPC であって yPC は同型射だから、 ηPC が単射であることと iC が単射であることは同値である。 したがって、 P が分離前層であることと、 任意の対象 C に対して iC:Hom(C,P)P+C が単射であることが同値になることを示す。

P が分離前層であると仮定する。 任意の対象 C をとり、 射 a,a󰎘:CPiCa=iCa󰎘 を満たすとする。 これは、 P+C を定める同値関係において a,a󰎘 が同値であるということなので、 ある被覆篩 SJC が存在して aS=a󰎘S が成り立つ。 仮定から P は分離前層なので -S は単射であるから、 これより a=a󰎘 を得る。 以上で、 iC は単射である。

逆に、 任意の対象 C に対して iC が単射であると仮定する。 任意の被覆篩 SJC に対し、 Hom(C,P)P+CHom(S,P)iC-SiS は可換であるが、 仮定から iC は単射なので -S も単射である。 よって、 P は分離前層である。

3

(󰒚,J) をとる。 前層 P:󰒚Set に対し、 P が層であることと ηP:PP+ が同型射であることは同値である。

命題 2 のときと同様に、 P が層であることと、 任意の対象 C に対して iC:Hom(C,P)P+C が全単射であることが同値になることを示す。

P が層であると仮定する。 任意の対象 C をとる。 元 αP+C をとり、 これがある被覆篩 SJC に対して a:SP で代表されるとすると、 α=iSa である。 仮定から P は層なので -S は全単射であるから、 ある a󰎘:CP が存在して a=a󰎘S が成り立つ。 したがって α=iS(a󰎘S)=iCa󰎘 であるから、 iC が全射であることが示された。 命題 2 によって iC はすでに単射なので、 iC は全単射である。

逆に、 任意の対象 C に対して iC が全単射であると仮定する。 任意に被覆篩 SJC をとり、 さらに射 a:SP をとる。 仮定から iC が全単射なので、 ある a󰎘:CP が存在して iSa=iCa󰎘 が成り立つ。 これは、 P+C において a,a󰎘 が同値であるということなので、 ある被覆篩 TJC が存在し、 TS であって、 STPCaa󰎘 が可換である。 ここで、 任意の射 fS:DC に対し、 図式 fTyDSPTyDyDCPyCf-f-af-f-a󰎘 を考えると、 左の四角形は fT の定義によって可換であり、 上下の三角形は明らかに可換で、 折れ曲がった長方形は上の図式と同じものなので可換である。 したがって、 横に長い長方形も可換である。 ここで、 命題 2 によって P が分離前層であることは分かっているので、 写像 -fT:Hom(yD,P)Hom(fT,P) は単射である。 この事実と上の図式の可換性を踏まえると、 SyDPCf-f-aa󰎘 が可換であることが分かる。 この図式において idD の行き先を見ることで、 aDf=aD󰎘f が得られる。 fS に属する任意の射であったから、 これによって a=a󰎘S が得られ、 -S が全射であることが示された。 命題 2 によって -S はすでに単射なので、 -S は全単射となり、 P は層である。

前層 P に対して定義した射 ηP:PP+ は、 層への射に関して普遍性をもつ。 これが随伴性の鍵となる。

4

(󰒚,J) をとる。 前層 P:󰒚Set と層 F:󰒚Set に対し、 任意の自然変換 φ:PF は、 PP+FηPφ󰔃φ を可換にする自然変換 󰔃φ によって、 ηP を通して一意的に分解される。

任意の対象 C とそれ上の被覆篩 SJC をとる。 F は層であるから、 包含射による写像 -S:Hom(yC,F)Hom(S,F) は全単射であり、 したがって逆写像をもつ。 これを用いて、 合成 Hom(S,P)Hom(S,F)Hom(yC,F)FCφ-(-S)1yFC1 を考えると、 これらは関手 Hom(-,P):JCSet の余錐となる。 したがって、 この余極限である P+C からの一意的な射 󰔃φC:P+CFC が存在する。 これは C に関して自然なので、 自然変換 󰔃φ:P+F が得られる。

さて、 定義によって、 各対象 C に対し、 Hom(S,P)P+CHom(S,F)Hom(yC,F)FCφ-iS󰔃φC(-S)1yFC1 は可換である。 ここで特に S=C とおけば、 図式 PCHom(C,P)P+CFCHom(yC,F)FCyPCφCiCφ-󰔃φCyFCyFC1 の右側の四角形の可換性が得られるが、 この左側の四角形も明らかに可換なので、 全体も可換である。 これはすなわち、 ここで構成した 󰔃φ:P+C が命題の主張の図式を可換にしていることを意味する。

󰔃φ の一意性は、 余極限が誘導する射の一意性から従う。

5

(󰒚,J) をとる。 関手の随伴 PSh(󰒚)ShJ(󰒚)ShJ(󰒚)ai が成立する。 すなわち、 ShJ(󰒚)PSh(󰒚) の反射的部分圏である。

前層 P:󰒚Set に対し、 合成 PP+P++ηPηP+󰔄ηP とおく。 命題 4 を 2 回使うことで、 任意の層 F:󰒚Set への自然変換 φ:PF は、 PaPF󰔄ηPφ󰔃φ を可換にする自然変換 󰔃φ によって、 󰔄ηP を通して一意的に分解される。 これは、 定理の主張にある随伴が、 󰔄η を単位として成立することを意味する。

以上で、 層化関手をプラス構成を経由して定義し、 それが包含関手の左随伴になっていることを証明した。 MacLane–Moerdijk1 ではこれを行うのに適合族やその融合を陽に扱っていたが、 この日記では試しにそれを避けてみた。 本当なら、 プラス構成で用いた余極限の具体的な表示を使わずに、 全て射だけの言葉で証明したかったが、 あまりうまくいかず、 中途半端な感じになってしまった。 この辺りの議論はもうちょっとシンプルにやりたい。

次回は、 層の圏 ShJ(󰒚) の極限と余極限について触れる。

参考文献

  1. S. MacLane, I. Moerdijk (1992) 『Sheaves in Geometry and Logic』 Springer