関手 F,G:󰒚∘×󰒚→󰒛 をとる。 󰒚 の対象 C に対して 󰒛 の射 αC:F(C,C)→G(C,C) が定まっており、 任意の 󰒚 の射 f:C→C󰎘 に対し、 F(C󰎘,C)F(C,C)G(C,C)F(C󰎘,C󰎘)G(C󰎘,C󰎘)G(C,C󰎘)F(f,id)F(id,f)αCG(id,g)αC󰎘G(f,id) が可換であるとする。 このとき、 α を双自然変換 (dinatural transformation) といい、 α:F⇒G で表す。

関手 F:󰒚∘×󰒚→󰒛 をとる。 󰒛 の対象 D に対して α:ΔD⇒F の形の双自然変換を、 D における F の楔 (wedge) といい、 α:D󰔈→F で表す。 ここで、 ΔD は D に値をもつ定値関手である。

関手 F:󰒚∘×󰒚→󰒛 をとる。 F のある楔 󰔄α:󰔄D󰔈→F が以下の条件を満たすとする。 すなわち、 任意の F の楔 α:D󰔈→F に対し、 󰒛 の射 h:D→󰔄D が唯一存在し、 任意の 󰒚 の対象 C について、 D󰔄DF(C,C)󰔄αCαCh は可換である。 このとき、 󰔄D を F のエンド (end) といい、 󰔄D=:󰄵C∈󰒚F(C,C) と表す。

関手 F:󰒚∘×󰒚→󰒛 をとる。 󰒛 の対象 D に対して α:F⇒ΔD の形の双自然変換を、 D における F の余楔 (cowedge) といい、 α:F󰔈→D で表す。

関手 F:󰒚∘×󰒚→󰒛 をとる。 F のある余楔 󰔄α:F󰔈→󰔄D が以下の条件を満たすとする。 すなわち、 任意の F の楔 α:F󰔈→D に対し、 󰒛 の射 h:󰔄D→D が唯一存在し、 任意の 󰒚 の対象 C について、 F(C,C)󰔄DD󰔄αCαCh は可換である。 このとき、 󰔄D を F のコエンド (coend) といい、 󰔄D=:󰄵C∈󰒚F(C,C) と表す。

圏 󰒚 に対し、 圏 Tw(󰒚) を

• Tw(󰒚) の対象は、 󰒚 の射とする。
• Tw(󰒚) の 2 つの対象 f:C→C󰎘,g:D→D󰎘 の間の射は、 󰒚 の射 h:D→C,k:C󰎘→D󰎘 の組であって、 CDC󰎘D󰎘fhgk が可換であるようなものとする。

によって定める。 この圏を 󰒚 の捻れた射の圏 (twisted arrow category) という。

関手 F:󰒚∘×󰒚→󰒛 をとる。 関手 󰔃F を 󰔃F: Tw(󰒚) ⟶ 󰒛 f ⟼ F(domf,codf) で定めると、 F のエンドが存在することと 󰔃F の極限が存在することは同値であり、 これらが存在するならば、 󰄵C∈󰒚F(C,C)≅limf∈Tw(󰒚)󰔃Ff が成り立つ。

関手 F:󰒚∘×󰒚→󰒛 をとる。 任意の 󰒛 の対象 D に対し、 式中の左辺のエンドやコエンドが存在するならば、 Hom󰒛(D,󰄵C∈󰒚F(C,C)( ≅ 󰄵C∈󰒚Hom󰒛(D,F(C,C)) Hom󰒛(󰄵C∈󰒚F(C,C),D( ≅ 󰄵C∈󰒚Hom󰒛(F(C,C),D) が成り立つ。 さらに、 この同型は D に関して自然である。

関手 F,G:󰒚→󰒛 に対し、 Nat(F,G)≅󰄵C∈󰒚Hom󰒛(FC,GC) が成り立つ。