日記 (2018 年 8 月 28 日)
2-圏は
2-圏
の対象 に対し、A の対象 が定まっている。F A の対象 に対し、 関手A , B が定まっている。F A B : [ A , B ] → [ F A , F B ] の対象 に対し、 自然変換A , B , C が定まっている。[ A , B ] × [ B , C ] [ A , C ] [ F A , F B ] × [ F B , F C ] [ F A , F C ] c A B C F A B × F B C F A C c F A , F B , F C μ A B C の対象 に対し、 自然変換A が定まっている。1 [ A , A ] [ F A , F A ] j A j F A F A A ξ A
という情報から成り、 任意の
2-圏
2-関手が
自然変換に関しても、 同様の弱い概念がある。
2-圏
の対象 に対し、A の 1-射 が定まっている。σ A : F A → G A の対象 に対し、 自然変換A , B が定まっている。[ A , B ] [ F A , F B ] [ G A , G B ] [ F A , G B ] F A B G A B c F A , F B , G B ( - , σ B ) c F A , G A , G B ( σ A , - ) ν A B
という情報から成り、 任意の
2-圏
関手のときと同様、 2-自然変換が
さて、 2-圏においては、 関手も自然変換も、 合成との可換性や自然性がどの程度緩く成立するのかに応じて 3 種類ある。 このそれぞれをどのような形容詞を付けて区別するかは文献によるのだが、 幸いなことに完全にバラバラというわけではないようで、 だいたい以下の表に示す A, B, C のいずれかに分けられる。 合成との可換性が同型な 2-射の違いを除いて成立するような関手が多く現れる分野では B の名付け方が採用されているなど、 どのタイプの名付け方を使うかはどのタイプの概念が最もよく使われるかに依存している。 この日記シリーズでは、 一貫して A の名付け方を採用する。
A | B | C | |
---|---|---|---|
射 | 弛緩 | 弛緩 | ∅ |
同型射 | 擬, 弱 | ∅ | 強 |
恒等射 | ∅ | 厳密 | 厳密 |
ちなみに、 2-圏における射の合成の結合性を緩めた弱 2-圏という概念もあるが、 今のところ私が扱う機会がないので、 この日記シリーズでは扱わないことにする。
参考文献
- F. Borceux (1994) 『Handbook of Categorical Algebra: Volume 1』 Cambridge University Press
- K. Honigs 『Coherence Theorems in Two-Dimensional Category Theory』 <http://www.math.utah.edu/~honigs/coherence_essay.pdf>