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日記 (2018 年 8 月 5 日)

今回は、 普通の圏論でも非常に重要な役割を果たす Yoneda の補題の豊穣圏バージョンを証明しようと思う。

ところで、 モノイダル圏 󰒭 に対して 󰒭-豊穣関手圏が存在するためには、 󰒭 が完備かつ対称モノイダル閉である必要があった。 󰒭 が対称モノイダル閉であると仮定するのは 󰒭 自身を 󰒭-豊穣圏と見なすのに不可欠なので仕方ないとしても、 完備性まで仮定するのは少々強すぎるので、 本題に移る前にこの過程を弱めるための準備をする。

命題 4.1.

完備対称モノイダル閉圏 󰒭 をとり、 󰒭-豊穣小圏 󰒚 および 󰒭-豊穣関手 F,G:󰒚→󰒭 を考える。 このとき、 任意の 󰒭 の対象 X に対し、 全単射 Hom󰒭(X,⟦F,G⟧󰒚→󰒛)≅{󰒭-豊穣自然変換 γ:X⊗F-⇒G} が成り立ち、 X に関して自然である。

証明の前に、 命題の意味を明確にしておこう。 まず、 命題中に出てくる 󰒭-豊穣関手 X⊗F-:󰒚→󰒭 の定義を明確にする。 󰒚 の対象 A,B に対し 󰒭 の射 (X⊗F-)AB:󰒚(A,B)→(X⊗FA)⊸(X⊗FB) が定まっているはずである。 これは、 FAB:[A,B]→FA⊸FB とテンソル積の随伴で対応する射を FAB♭:FA⊗[A,B]→FB とするとき、 idX⊗FAB♭:X⊗FA⊗[A,B]→X⊗FB と対応する射として定める。 このようにすると、 X⊗F- は 󰒭-豊穣関手の公理を満たす。 実際、 任意の 󰒚 の対象 A,B,C に対し、 F が 󰒭-豊穣関手であることから、 [A,B]⊗[B,C][A,C][FA,FB]⊗[FB,FC][FA,FB]FAB⊗FBCcABCFACcFA,FB,FC♤1 は可換である。 テンソル積の随伴を用いると、 この図式の可換性は、 FA⊗[A,B]⊗[B,C]FA⊗[A,C]FA⊗(FA⊸FB)⊗(FB⊸FC)FB⊗(FB⊸FC)FCid⊗cABCid⊗FAB⊗FBCFAC♭εFA,FB⊗idεFB,FC の可換性と同値である。 ここで定義から、 例えば FAB♭=εFA,FB∘(idFA⊗FAB) であるから、 上の図式において初めに下に行って右に行く合成は、 FA⊗[A,B]⊗[B,C]FA⊗[A,C]FB⊗[B,C]FCid⊗cABCFAB♭⊗idFAC♭FBC♭♤2 と書き換えられる。 この図式全体に左から X をテンソルし、 図式 ♤1 から図式 ♤2 を得た操作と逆の操作を行えば、 X⊗F- が合成と可換であることを意味する図式が得られる。 他の図式の可換性についても同様の方法で確かめられる。

次に、 命題中の全単射が X に関して自然であるとはどういうことなのか明確にする。 この全単射の右辺の集合を SX と書くことにすると、 󰒭 の対象 X に対し集合 SX を対応させる規則は、 以下のように関手 S:󰒭∘→Set に拡張できる。 󰒭 の射 f:Y→X に対し、 󰒭-豊穣自然変換 γ:X⊗F-⇒G は、 命題 2.3 によって、 󰒚 の対象 A に対する 󰒭 の射 γA:X⊗FA→GA の族であって、 任意の 󰒚 の対象 A,B に対し、 [A,B](X⊗FA)⊸(X⊗FB)GA⊸GB(X⊗FA)⊸GB(X⊗F-)ABGABid⊸γBγA⊸id♡ を可換にするものと見なせる。 ここで、 󰒚 の対象 A に対して δA:=γA∘(f⊗idFA) とおくと、 これは 󰒭-豊穣自然変換 δ:Y⊗F-⇒G を定める。 実際、 任意の 󰒚 の対象 A,B に対し、 Y⊗FA⊗[A,B]Y⊗FBX⊗FA⊗[A,B]X⊗FBGA⊗[A,B]GBid⊗FAB♭f⊗idf⊗idid⊗FAB♭γA⊗idγBGAB♭ を考えると、 上側の矩形部分は明らかに可換で、 下側の矩形部分は図式 ♡ 全体をテンソル積の随伴で移したものなので可換である。 したがって、 この図式の外周も可換であるが、 これは δ の自然性を表す図式をテンソル積の随伴で移したものであるので、 δ は 󰒭-豊穣自然変換になっている。 以上により、 (Sf)γ:=δ と定めることで写像 Sf:SX→SY が定まり、 これにより S は関手になる。 そして、 命題中の全単射が自然であるとは、 同型な自然変換 Hom(-,⟦F,G⟧)⇒S が存在するということである。

証明.

任意に 󰒭 の対象 X をとる。 8 月 2 日の命題 2 の証明と同様の議論により、 同型の違いを除けば、 Hom(X,⟦F,G⟧) の元は、 󰒚 の対象 A に対する 󰒭 の射 mA:X→FA⊸GA の族であって、 任意の 󰒚 の対象 A,B に対し、 [A,B]⊗X(FA⊸FB)⊗(FB⊸GB)FA⊸GBX⊗[A,B](FA⊸GA)⊗(GA⊸GB)FAB⊗mBσ[A,B],XcFA,FB,GBmA⊗GABcFA,GA,GB が可換になるものである。 この図式をテンソル積の随伴で移すと、 FA⊗[A,B]⊗XFA⊗(FA⊸FB)⊗(FB⊸GB)FB⊗(FB⊸GB)GBFA⊗X⊗[A,B]FA⊗(FA⊸GA)⊗(GA⊸GB)GA⊗(GA⊸GB)id⊗FAB⊗mBσ[A,B],XεFA,FB⊗idεFB,GBid⊗mA⊗GABεFA,GA⊗idεGA,GB となる。 ここで、 mA とテンソル積の随伴で対応する射を γA:X⊗FA→GA とおく。 すなわち、 γA=εFA,GA∘(idFA⊗mA) が成り立つ。 この等式などを用いた上で、 適切にテンソル積の順番を入れ替えると、 上の図式は、 X⊗FA⊗[A,B]X⊗FBGA⊗[A,B]GBid⊗FAB♭γA⊗idγBGAB♭ と書き換えられる。 そして、 これをテンソル積の随伴で移した図式が、 まさに γ が 󰒭-豊穣自然変換であることを表す図式である。 以上により、 全単射 Hom(X,⟦F,G⟧)≅SX が示された。

この全単射の自然性を確かめる。 そのためには、 任意の 󰒭 の射 f:Y→X に対し、 Hom(X,⟦F,G⟧)SXHom(Y,⟦F,G⟧)SY-∘fSf が可換であることを示せば良い。 すなわち、 上の記号において、 族 (mA∘f)A∈󰒚 に対応するものが (Sf)γ であることを示す。 しかし、 全単射の定義から、 (mA∘f)A∈󰒚 に対応するのは、 󰒭 の各対象 A に対し γA∘(f⊗idFA):Y⊗FA→GA が定める 󰒭-豊穣自然変換であり、 これは (Sf)γ そのものである。 したがって、 命題の全単射の自然性も示された。

上の命題の同型が成り立つかどうかというのは、 󰒭 が完備であるかどうかに関わらず言及することができる。 そこで、 以下のように ⟦F,G⟧ を再定義することにする。

定義 4.2.

対称モノイダル閉圏 󰒭 をとり、 󰒭-豊穣小圏 󰒚 および 󰒭-豊穣関手 F,G:󰒚→󰒭 を考える。 ある 󰒭 の対象 N が存在して、 任意の 󰒭 の対象 X に対し、 全単射 Hom󰒭(X,N)≅{󰒭-豊穣自然変換 γ:X⊗F-⇒G} が X に関して自然に成り立つとする。 このとき、 N を F から G への自然変換対象 (natural transformation object) といい、 ⟦F,G⟧󰒚→󰒛 で表す。

この定義のもと、 豊穣圏における Yoneda の補題は以下のように定式化できる。

定理 4.3 [豊穣 Yoneda の補題 (enriched — lemma)].

対称モノイダル閉圏 󰒭 をとり、 󰒭-豊穣小圏 󰒚 および 󰒭-豊穣関手 F:󰒚→󰒭 を考える。 任意の 󰒚 の対象 K に対し、 自然変換対象 ⟦[K,-],F⟧ が常に存在し、 同型 ⟦[K,-],F⟧≅FK が成り立つ。

まず、 󰒭-豊穣関手 [K,-]:󰒚→󰒭 の射の対応を明確にしておく。 󰒚 の対象 A,B に対する 󰒭 の射 [K,-]AB:[A,B]→[K,A]⊸[K,B] は、 cKAB:[K,A]⊗[A,B]→[K,B] とテンソル積の随伴で対応する射とする。 これは 󰒭-豊穣関手の公理を満たす。 例えば合成との可換性については、 まず任意の 󰒚 の対象 A,B,C に対し、 [K,A]⊗[A,B]⊗[B,C][K,A]⊗[A,C][K,B]⊗[B,C][K,C]id⊗cABCcKAB⊗idcKACcKBC は可換である。 この図式において最初に下に行って右に行く合成は、 [K,A]⊗[A,B]⊗[B,C][K,A]⊗[A,C][K,A]⊗([K,A]⊸[K,B])⊗([K,B]⊸[K,C])[K,C]id⊗cABCid⊗[K,-]AB⊗[K,-]BCcKACε[K,B],[K,C]∘(ε[K,A],[K,B]⊗id) と書き換えることができる。 この図式全体をテンソル積の随伴で移せば、 [A,B]⊗[B,C][A,C]([K,A]⊸[K,B])⊗([K,B]⊸[K,C])[K,A]⊸[K,C]cABC[K,-]AB⊗[K,-]BC[K,-]ACc[K,A],[K,B],[K,C] となり、 これは [K,-] が合成と可換であることを表す図式である。 他の 󰒭-豊穣関手の公理についても同様である。

証明.

定義 4.2 により、 任意の 󰒭 の対象 X に対し、 全単射 Hom(X,FK)≅{󰒭-豊穣自然変換 γ:X⊗[K,-]⇒F} が X に関して自然に成り立てば良い。

󰒭 の射 h:X→FK をとる。 󰒚 の対象 A に対し、 合成 X⊗[K,A]FK⊗[K,A]FAh⊗idFKA♭ を γA とおく。 このとき、 󰒚 の対象 A,B に対して、 図式 X⊗[K,A]⊗[A,B]X⊗[K,B]FK⊗[K,A]⊗[A,B]FK⊗[K,B]FA⊗[A,B]FBid⊗cKABh⊗idh⊗idid⊗cKABFKA♭⊗idFKB♭FAB♭♧ を考えると、 上側の矩形部分は明らかに可換で、 下側の矩形部分は図式 ♤2 を得たのと全く同じようにして可換である。 この外周をテンソル積の随伴で移すと、 (X⊗[K,-])AB♭=idX⊗[K,-]AB♭=idX⊗cKAB であることに注意して、 [A,B](X⊗[K,A])⊸(X⊗[K,B])FA⊸FB(X⊗[K,A])⊸FB(X⊗[K,-])ABFABid⊸γBγA⊸id を得る。 以上で、 󰒭-豊穣自然変換 γ:X⊗[K,-]⇒F が定まった。

逆に、 󰒭-豊穣自然変換 γ:X⊗[K,-]⇒F をとる。 合成 XX⊗1X⊗[K,K]FKρX−1id⊗jXγK を h とおけば、 射 h:X→FK が得られる。

この 2 つの操作は互いに逆になっていることが、 以下のようにして分かる。 󰒭 の射 h:X→FK に対し、 図式 XX⊗1X⊗[K,K]FKFK⊗1FK⊗[K,K]FK⊗(FK⊸FK)FKρX−1hid⊗jKh⊗idh⊗idρFK−1idid⊗jKid⊗jFKid⊗FKKFKK♭εFK,FK は可換であることがすぐに分かる。 この図式の外周の可換性は h から始めて操作を 2 回行うともとに戻ることを意味している。 󰒭-豊穣自然変換 γ:X⊗[K,-]⇒F に対しては、 󰒚 の対象 A に対し、 X⊗[K,A]X⊗1⊗[K,A]X⊗[K,K]⊗[K,A]X⊗[K,A]FK⊗[K,A]FAρX−1⊗ididid⊗jK⊗idγK⊗idid⊗cKKAγAFKA♭ は可換である。 実際、 右側の平行四辺形部分は ♧ を得たのと同じ方法で可換であり、 中央の三角形部分は明らかに可換である。 これより、 γ から操作を 2 回行ってももとに戻ることが分かる。

以上により、 󰒭 の対象 X に対して、 Hom(X,FK)≅{󰒭-豊穣自然変換 γ:X⊗[K,-]⇒F} が示された。 あとはこの全単射が X に関して自然であることを示せば良い。 そのためには、 命題 4.1 のときと同様に上の式の右辺を SX と書くことにしたとき、 Hom(X,FK)SXHom(Y,FK)SY-∘fSf が可換であることを確かめれば良い。 すなわち、 󰒭 の射 h:X→FK に対応する 󰒭-豊穣自然変換を γ:X⊗[K,-]⇒F として、 h∘f と対応するのが (Sf)γ であることを示せば良い。 しかし、 h∘f に対応するのは、 󰒚 の各対象 A に対して γA∘(f⊗idFA):Y⊗[K,A]→FA が定める 󰒭-豊穣自然変換であり、 これは (Sf)γ である。 よって、 示したかった自然性も得られた。

ここで証明した豊穣 Yoneda の補題 ⟦[K,-],F⟧≅FK は、 実は K に関して自然である。 さらに、 󰒭 が完備ならば、 豊穣関手圏 Fun(󰒚,󰒭) が存在するので、 この同型が F に関して自然であるという言及もでき、 実際に自然になっている (はずである)。 この自然性の証明をするには、 実際にやってみると分かるが、 非常に煩雑な計算を行う必要がある。 暇潰しにでもどうだろうか。

参考文献

  1. F. Borceux (1994) 『Handbook of Categorical Algebra: Volume 2』 Cambridge University Press