証明.

いずれも簡単に示せるので、 ここでは証明を省略する。

証明.

F≇0 だから、 id:F↣F と !:0↣F は相異なる F の部分対象である。 したがって、 char(F)≠char(0):F→ΩSh である。 これにより、 補題 6 を用いると、 ある元 p∈P と射 f:yp→F が存在し、 char(F)∘f≠char(0)∘f:yp→ΩSh が成り立つ。 ここで yp≅0 とすると、 上の式によって始対象からの異なる平行な射が存在していまい矛盾する。 したがって、 yp≇0 である。

証明.

具体的に Sub(F) の任意の族の交わりと結びを構成することができる。 また、 Sub(F) の任意の元に対してその補元が存在することも比較的容易に示せる。 証明の詳細は、 MacLane†1 の III.8 節などを参照してほしい。

証明.

任意に全射 e:X↠I をとる。 この切断を構成すれば良い。

まず、 󱁊:={(M,s)∣M は I の部分対象で s:M→X は M 上の e の切断} とおく。 始対象からの射 !:0→X を考えると、 明らかに (0,!)∈󱁊 であるから、 󱁊 は空でない。 ここで、 󱁊 に以下で定める順序を入れる。 (M,s)≤(M󰎘,s󰎘)⟺M⊆M󰎘ANDs󰎘|M=s このとき、 󱁊 が帰納的順序集合であることを以下に示す。

任意に全順序部分集合 󱁑⊆󱁊 をとる。 便宜上 󱁑=:{(Tjsj)}j∈J と添字付けておく。 Tj たちは I の部分対象だから、 単射 mj:Tj↣I が存在する。 さて、 Sh(SetP∘) は余完備だから Tj たちの余極限が存在し、 射 m:=colimj∈Jmj:colimj∈JTj→I が構成できる。 ここで、 󱁑 が全順序であることから、 J 上の余極限はフィルターである。 したがって、 この余極限は有限極限と交換するから、 特に単射を保存する。 これにより、 上の射は単射となるので、 colimj∈JTj は I の部分対象を定め、 T:=colimj∈JTj=󰆊j∈JTj が成り立つ。

Tj たちと T は I の部分対象だから I への射をもち、 それによってスライス圏 Sh(SetP∘)/I の対象であると見なせる。 同様に、 X も e:X→I によって Sh(SetP∘)/I の対象とする。 余極限は Sh(SetP∘) 上でとっても Sh(SetP∘)/I 上でとっても同じことを利用すると、 Sh(SetP∘)/I 上で、 任意の Tj⊆Tj󰎘 なる j,j󰎘 について、 XTTjTj󰎘ssjsj󰎘 を可換にする射 s:T→X が存在する。 この図式は Sh(SetP∘)/I 内のものだから e∘s=m が成り立つので、 この s は T 上の e の切断である。 したがって、 (T,s)∈󱁊 であって、 これは 󱁑 の上界を与える。

これによって 󱁊 は帰納的順序集合であることが示されたので、 Zorn の補題により、 極大元 (M,s) がとれる。 M=I を示せば良い。

M≠I を仮定して矛盾を導く。 補題 8 によって Sub(I) は Boole 代数だから、 ¬M≠0 である。 したがって、 補題 7 によって、 ある表現可能関手 V と射 f:V→¬M がとれ、 V≇0 である。 引き戻し X󰎘XV¬MIxe󰎘ef を考えると、 トポスの引き戻しは全射を保存するから、 e󰎘 は全射である。 X󰎘≅0 とすると、 e󰎘 は始対象からの射だから単射となり、 したがって同型射となるが、 それは V≇0 に反する。 したがって、 X󰎘≇0 が成り立つ。 再び補題 7 を用いれば、 表現可能関手 W と射 g:W→X󰎘 がとれて、 W≇0 である。

ここで、 全射と単射による分解 WV¬MZe󰎘∘ghf を考えると、 まず W≇0 より Z≇0 である。 さらに補題 5 によって W から 1 への射は単射だから、 可換図式 W1Z¬Mh を考えると、 h も単射であることが分かる。 したがって、 h は全射かつ単射なので同型射である。

さて、 Z から ¬M に単射があり、 ¬M は I の部分対象だから、 Z も I の部分対象と見なせる。 このように見なすと、 Sub(I) で、 M∩Z⊆M∩¬M=0 が成り立つ。 したがって、 M∪Z は余積 M+Z と同型である。 これにより、 M∪Z からの射を構成するには、 M からの射と Z からの射を構成すれば良い。 s:M→X と x∘g∘h−1:Z→X から誘導される射を s󰎘:M∪Z→X とおくと、 これは M∪Z 上の e の切断になっている。 Z≇0 より M⊊M∪Z だから、 これは (M,s) が 󱁊 の極大元であることに矛盾する。

証明.

この命題の証明はここでは省略する。 MacLane†1 の I.4 節と III.7 節などを参照してほしい。

証明.

任意に p∈P および (b,n)∈B×󱀍 をとる。 このとき、 char(A)p(b,n)∈Ωp が ΩShp に属していることを示せば良いが、 命題 11 によって、 それはこれが閉篩であることを示すのと同値である。

閉篩の定義の対偶を示す。 ある q≤p であって q∉char(A)p(b,n) なるものが存在したとする。 char(A)p(b,n)↓q が稠密でないことを示せば良い。

ここで、 char(A)p(b,n)={p󰎘≤p∣(b,n)∈Ap󰎘} と具体的に表示できることを利用すると、 (b,n)∉Aq が分かる。 すなわち、 q(b,n) が定義されないか、 もしくは q(b,n)=1 である。

q(b,n) が定義されない場合、 q󰎘: Fq∪{(b,n)} ⟶ 2 (c,m) ⟼ { q(c,m) ((c,m)∈Fq) 1 ((c,m)=(b,n)) で写像 q󰎘 を定めると、 これは q の延長になっているから q󰎘≤q が成り立つ。 ここで任意の d≤q󰎘 に対し、 順序の定義から、 d(b,b)=q󰎘(b,n)=1≠0 が成り立つので、 (b,n)∉Ad である。 すなわち、 d∉char(A)p(b,n)↓q が成り立つ。 これにより、 char(A)p(b,n)↓q は稠密でないことが示された。 q(b,n)=1 の場合は、 この議論で q󰎘=q とすれば良い。

証明.

関手圏の射が単射かどうかは各点で調べられるので、 任意の p∈P に対して gp:B→ΩShΔ󱀍p が単射であることを示せば良い。 前層の冪の定義から、 ΩShΔ󱀍p=HomSetP∘(yp×Δ󱀍,ΩSh) であるから、 各 b∈B に対して、 SetP∘ 内の射 gpb:yp×Δ󱀍→ΩSh が定まっていることになる。 これは自然変換だから、 各 q∈P に対して、 Set の射 (gpb)q:Hom(p,q)×󱀍→ΩShq がある。 g は冪の随伴で f から得られたもので、 f は char(A) の終域を制限したものだということを踏まえると、 この射は、 (gpb)q: Hom(p,q)×󱀍 ⟶ ΩShq (⋆,n) ⟼ {r≤q∣(b,n)∈Ar} と具体的に表示できることが分かる。

さて、 この具体的な表示を用いて gp が単射であることを示す。 任意に相異なる 2 元 b,b󰎘∈B をとる。 p の定義域は有限集合だから、 十分大きな n0∈󱀍 で、 p(b,n0) も p(b󰎘,n0) も定義されないようなものが存在する。 そこで、 r: Fp∪{(b,n0),(b󰎘,n0)} ⟶ 2 (c,m) ⟼ { p(c,m) ((c,m)∈Fp) 0 ((c,m)=(b,n0)) 1 ((c,m)=(b󰎘,n0)) と定義することで、 p の延長が得られる。 この定義と上の gp の表示から、 r∈(gpb)p(⋆,n0) であるが r∉(gpb󰎘)p(⋆,n0) であることが分かる。 これより gpb≠gpb󰎘 が得られたので、 gp は相異なる元を相異なる元に移すから単射である。

証明.

任意に X∈SetP∘ をとると、 a が包含関手の左随伴であることから、 HomSetP∘(X,ΩShΔ󱀍) ≅ HomSetP∘(Δ󱀍×X,ΩSh) ≅ HomSh(SetP∘)(aΔ󱀍×aX,ΩSh) ≅ HomSh(SetP∘)(aX,ΩSh󰂡󱀍) ≅ HomSetP∘(X,ΩSh󰂡󱀍) が成り立つ。 この同型は X に関して自然だから、 Yoneda の補題によって SetP∘ での同型 ΩShΔ󱀍≅ΩSh󰂡󱀍 が得られる。 この両辺を層化すれば、 右辺はすでに層だから aΩShΔ󱀍≅ΩSh󰂡󱀍 が得られる。

証明.

左側 2 つの単射の存在はすでに述べた通りである。 右側の単射は、 次に述べるように ag である。

補題 13 によって g は単射であるが、 層化関手は単射を保存するから ag:aΔB→aΩShΔ󱀍 も単射である。 補題 14 によってこれの終域は ΩSh󰂡󱀍 と同型だから、 まさに ag が命題の図式の右側の単射を与えている。

証明.

Epi(X,Y) の定義を遡ればすぐに分かる。

証明.

0≇1 かつ Epi(X,Y)≅0 が成り立つとし、 さらに全射 g:X↠Y が存在すると仮定する。 このとき (π,g):1×X→1×Y も全射になるから、 󰂗g:1→YX を冪の随伴で g と対応する射とすると、 命題 16 によって、 図式 1YXEpi(X,Y)󰂗gu を可換にするような u が存在する。 今 Epi(X,Y)≅0 だから u の終域は 0 であるが、 トポスにおいて 0 への射は全て同型射であるから、 u は同型射である。 したがって、 0≅1 となり矛盾する。

証明.

まず、 A に属する任意の元 p について、 p の定義域の元の個数がちょうど n 個である場合に補題を示す。 これは n に関する帰納法による。

n=0 の場合は明らかなので、 以下 n≥1 とする。 自然数 k に対し、 Ak:={p∈An∣∃b∈B(b,k)∈Fp} とおく。 定義から、 各 p∈Ak に対して (b,k)∈Fp なる b∈B が存在するので、 そのような b を 1 つ選んで bp とする。 さらに、 i∈{0,1} に対し、 Aki:={p∈Ak∣p(bp,k)=i} とおく。 各 p∈Aki に対し、 p の定義域を Fp∖{(bp,k)} に制限したものを p♭ と書くことにする。 この記号を利用して、 Rki:={p♭∣p∈Aki} とおく。

任意に異なる 2 元 p♭,p󰎘♭∈Rki をとり、 q≤p♭ かつ q≤p󰎘♭ を満たす q∈P が存在したと仮定する。 このとき、 r: Fq∪{(bp,k),(bp󰎘,k)} ⟶ 2 (c,m) ⟼ { r(c,m) (下記以外) i ((c,m)=(bp,k),(bp󰎘,k)) とおくと、 r は p,p󰎘 双方の延長になっているから、 r≤p かつ r≤p󰎘 が成り立つ。 すなわち p と p󰎘 は両立することになるが、 これは A の任意の相異なる 2 元が両立しないことに矛盾する。 したがって、 Rki の任意の相異なる 2 元は両立しない。

Rki の任意の元に対し、 その定義域の元の個数はちょうど n−1 だから、 帰納法の仮定によってこれは高々可算である。 したがって Aki も高々可算で、 A=󰆊kAk=󰆊k(Ak0∪Ak1) も高々可算である。

一般の A に関しては、 各自然数 n に対し、 An󰎘:={p∈A∣|Fp|=n} とおくと、 上の議論によって An󰎘 は高々可算である。 したがって、 A=󰆊nAn󰎘 も高々加算となり、 補題が示された。

証明.

仮定のような 󱁒 をとる。 󱁒 の代わりに 󱁒∖{0} を考えることで、 初めから 󱁒 には 0 は属さないとして良い。

各 U∈󱁒 に対し U≇0 だから、 補題 7 を用いると、 ある元 pU∈P と射 fU:ypU→U がとれる。 補題 5 によって ypU も 1 の部分対象だから、 fU の存在は Sub(1) で ypU⊆U が成り立つことを意味する。

ここで、 相異なる U,U󰎘∈󱁒 からとると、 ypU∩ypU󰎘⊆U∩U󰎘=0 が成り立つ。 これにより、 任意の q∈P に対して、 Hom(q,pU)∩Hom(q,pU󰎘)=∅ が分かり、 これはすなわち A:={pU∈P∣U∈󱁒} の相異なる 2 元は両立しないことを意味している。 補題 19 によって A は高々可算なので、 󱁒 も高々可算である。

証明.

証明は背理法による。 ある無限集合 S,T が存在して、 Epi(S,T)≅0 および Epi(󰂡S,󰂡T)≇0 がともに成り立つと仮定する。

まず補題 7 によって、 ある表現可能関手 X と射 f:X→Epi(󰂡S,󰂡T) が存在する。 さらに X≇0 である。 m:Epi(󰂡S,󰂡T)↣󰂡T󰂡S を部分対象を与える単射とする。 このとき、 明らかに X󰂡T󰂡SEpi(󰂡S,󰂡T)m∘ffm は可換だから、 命題 16 によって g:=(π,󰂗m∘f):X×󰂡S→X×󰂡T は全射である。

さて、 各 s∈S および t∈T に対し、 これを s:1→S と t:1→T という Set の射と見なして、 引き戻し UstPtX×1X×1X×󰂡SX×󰂡Thtktid×󰂡tid×󰂗sg を考える。 ここで、 トポスでは引き戻しは全射を保存するので、 g が全射であることから ht は全射である。 Pt≅0 とすると、 ht は始対象からの射だから単射となり ht は同型射になるので、 X≅0 となり矛盾する。 したがって、 Pt≇0 である。

上記のようにして定義した Ust を用いて、 集合 W を W:={(s,t)∈S×T∣Ust≇0} と定義する。

さて、 X×- は右随伴をもつことから余極限を保存するので、 Sh(SetP∘) において同型 󰄘s∈S(X×1)≅X×󰄘s∈S1≅X×󰂡S が成立する。 左辺の添字 s∈S に対応する X×1 を、 射 id×󰂡s:X×1→X×󰂡S によってスライス圏 Sh(SetP∘)/(X×󰂡S) の対象だと見なすことにすれば、 この同型は Sh(SetP∘)/(X×󰂡S) でも成立する。

各 t∈T に対して、 引き戻し関手 pt∗:Sh(SetP∘)/(X×󰂡S)→Sh(SetP∘)/Pt を考える。 pt∗ も右随伴をもつことから余極限を保存するので、 pt∗ を上の同型の両辺に施すと、 󰄘s∈SUst≅Pt が得られる。 Pt≇0 であったから、 上式よりある s∈S が存在して Ust≇0 すなわち (s,t)∈W である。 この議論は任意の t に対して成り立つから、 直積の射影 π:W→T は全射であることが従う。

次に、 s∈S をとって固定する。 任意の相異なる 2 元 t,t󰎘∈T に対し、 再びこれを t,t󰎘:1→T という Set の射と見なすと、 Set において図式 011Tt󰎘t は引き戻しである。 󰂡-:Set→Sh(SetP∘) は有限極限および余極限を保存するから、 引き戻しと始対象を保存し、 Sh(SetP∘) において、 011󰂡T󰂡t󰎘󰂡t も引き戻しである。 X×-:Sh(SetP∘)→Sh(SetP∘) も同様に引き戻しと始対象を保存するから、 0X×1X×1X×󰂡Tid×󰂡t󰎘id×󰂡t もまた引き戻しである。 これは、 Sub(X×󰂡T) において、 (id×󰂡t)∩(id×󰂡t󰎘)=0 が成り立つことを意味している。 この両辺を g∘(id×󰂡s) で引き戻す。 引き戻しは Heyting 代数の構造を保存するから、 Sub(X) での等式 Ust∩Ust󰎘=0 が得られる。 ところで X は表現可能関手だったから、 補題 5 により 1 への射は単射である。 したがって、 Ust,Ust󰎘 は 1 の部分対象とも見なすことができ、 Sub(1) においても上の等式は成り立つ。 このことから、 󱁒s:={Ust∈Sub(1)∣t∈T} はどの相異なる 2 元をとっても交わりをもたない。 したがって、 補題 20 によって、 󱁒s は高々可算である。 さらに、 Ws:={t∈T∣(s,t)∈W} とおくと、 φs: Ws ⟶ 󱁒s t ⟼ Ust は単射になる。 󱁒s は高々可算だから、 Ws も高々可算である。

ここで、 S は無限集合だったから、 |W|=|󰄘s∈SWs|≤|S|·ℵ0=max(|S|,ℵ0)=|S| が成り立つ。 逆の大小関係も明らかに成り立つから、 |W|=|S| となり、 したがって全単射 u:S→W が存在する。 π:W→T は全射だったから、 これらの合成 π∘u:S→T も全射である。 Epi(S,T) は S から T への全射全体の集合だったから、 これは Epi(S,T)≅0 に矛盾する。

証明.

命題 15 によって、 単射列 󰂡󱀍󰂡2󱀍󰂡BΩSh󰂡󱀍uvw が存在する。

2󱀍 は 󱀍 よりも真に濃度が大きいから、 Set で全射 󱀍↠2󱀍 は存在しない。 Set では Epi(󱀍,2󱀍) はそのような全射そのもの全体の集合だったから、 これにより Epi(󱀍,2󱀍)≅0 が成り立つ。 同じようにして、 Epi(2󱀍,B)≅0 も成り立つ。 したがって、 命題 21 により、 Sh(SetP∘) で Epi(󰂡󱀍,󰂡2󱀍)≅0 および Epi(󰂡2󱀍,󰂡B)≅0 が成り立つ。

このことから、 まず Epi(󰂡󱀍,󰂡2󱀍)≅0 と命題 17 によって、 u は同型射になり得ない。 さらに、 w∘v が同型射だとすると、 w は全射となる。 もともと w は単射だから w は同型射となり、 したがって v も同型射である。 しかし、 これは Epi(󰂡2󱀍,󰂡B)≅0 に反する。 したがって、 w∘v は同型射ではない。

以上により、 Sh(SetP∘) 内に単射列 󰂡󱀍󰂡2󱀍ΩSh󰂡󱀍uw∘v が存在し、 u と w∘v はどちらも同型射ではない。 これは連続体仮説に反する。