証明.

まず、 定義 5.1 中の関手 G:󰒪/C→󰒚 について、 G の余錐 (ds:Gs→D)s∈󰒪/C と自然変換 d:zC⇒zD は同じものであることが観察できる。

󰒪 が稠密であるということは、 余錐 (s:Gs→C)s∈󰒪/C が余極限であることであった。 これはすなわち、 任意の余錐 (ds:Gs→D)s∈󰒪/C に対し、 射 h:C→D が一意に存在して、 各 󰒪/C の対象 s に対して s󰖡h=ds が成り立つということである。 上の観察により、 このことは、 任意の自然変換 d:zC⇒zD に対し、 射 h:C→D が一意に存在して、 zh=d が成り立つということである。 これは、 z が忠実充満であることを意味する。

証明.

任意に 󰒚 の単射 f:C→D をとる。 このとき、 Set󰒪∘ で zf:zC→zD が単射であることを示せば良いが、 そのためには各 󰒪 の対象 S に対して Set で (zf)S:Hom(S,C)→Hom(S,D) が単射であることを示せば良い。 この (zf)S は f を後ろに合成するという写像であるが、 f は単射だったから、 (zf)S も明らかに単射である。

証明.

Set󰒪∘ の対象 P に対し、 元の圏からの忘却関手 F: El(P) ⟶ 󰒚 (S,s) ⟼ S を考えると、 仮定から 󰒚 は余完備なので、 この余極限 (c(S,s):F(S,s)→C)(S,s)∈El(P) がとれる。 さらに、 各 󰒪 の対象 S に対し、 ηS: PS ⟶ Hom(S,C) s ⟼ c(S,s) とおくと、 これは S について自然であるから、 Set󰒪∘ の射 η:P→zC が得られる。 これが P からの普遍射であることを示せば良い。

任意に Set󰒪∘ の射 η󰎘:P→zC󰎘 をとる。 このとき、 (ηS󰎘s:F(S,s)→C󰎘)(S,s)∈El(P) は F の余錐になる。 したがって、 余極限の普遍性によって、 射 h:C→C󰎘 が一意に存在して、 任意の El(P) の対象 (S,s) に対し、 󰒚 での図式 F(S,s)CC󰎘c(S,s)ηS󰎘sh が可換になる。 これは、 Set󰒪∘ での図式 FzCzC󰎘ηη󰎘zh が可換であると言い換えることができ、 このことは η が普遍射であることを意味する。

証明.

まず、 定理 4.7 により 󰒪:=Presκ(󰒚) は小である。 󰒚 の任意の対象 C をとり、 関手 G: 󰒪/C ⟶ 󰒚 ❲s:S→C❳ ⟼ S を考える。

󰒚 は κ-到達可能だから、 κ-表示可能対象の κ-有向図式 F:󰒠→󰒚 によって C=colimF と書ける。 この余極限余錐を (ci:Fi→C)i∈󰒠 とおく。 このとき、 H: 󰒠 ⟶ 󰒪/C i ⟼ ci は関手であり、 H󰖡G=F が成り立つ。 したがって、 H が終であることが示されれば、 colimG=colimF=C となって 󰒪 が稠密であることが示される。 定理 1.6 により、 任意に 󰒪/C の対象 s:S→C をとって、 s↓H が連結であることを示せば良い。

まず、 s↓H が空でないことを示す。 S は 󰒪 の対象より κ-表示可能で C は κ-有向余極限だから、 ある 󰒠 の対象 i が存在して、 SCFisgci と分解できる。 この g は、 󰒪/C の射 g:s→Hi と見なせ、 したがって s↓H の対象である。 これより、 s↓H は空でない。

次に、 任意に s↓H の対象 g:s→Hi,g󰎘:s→Hi󰎘 をとり、 g と g󰎘 が s↓H の射で結ばれることを示す。 󰒪/C の射として g:s→Hi, g󰎘:s→Hi󰎘 であるから、 󰒚 の射としては g:S→Fi, g󰎘:S→Fi󰎘 であり、 s=g󰖡ci=g󰎘󰖡ci󰎘 が成り立つ。 すなわち、 s の 2 通りの分解が存在することになるので、 そのような分解が本質的に一意であることから、 ある 󰒠 の対象 󰔄i が存在して、 i≤󰔄i かつ i󰎘≤󰔄i であって、 g󰖡F❲i↪󰔄i❳=g󰎘󰖡F❲i󰎘↪󰔄i❳ が成り立つ。 この等しい射を 󰔄g:S→F󰔄i とおく。 すると、 󰔄g󰖡c󰔄i=g󰖡F❲i↪󰔄i❳󰖡c󰔄i=g󰖡ci=s であるから、 󰒪/C の射 󰔄g:s→H󰔄i と見なすことができ、 したがって 󰔄g は s↓H の対象である。 さらに、 󰒠 の射 u:i↪󰔄i, u󰎘:i󰎘↪󰔄i はそれぞれ s↓H の射 u:g→󰔄g, u󰎘:g󰎘→󰔄g と見なすことができる。 したがって、 g と g󰎘 が s↓H の射で結ばれた。 以上により、 s↓H は連結である。

証明.

κ-局所表示可能圏 󰒚 をとり、 󰒪:=Presκ(󰒚) とおく。 さらに、 制限 Yoneda 埋め込み z:󰒚→Set󰒪∘ を考える。 定理 5.6 により 󰒪 は稠密だから、 補題 5.3 により z は忠実充満である。 さらに、 󰒚 は余完備だから、 補題 5.5 により z は左随伴をもつ。 以上により、 󰒚 は Set󰒪∘ の反射的部分圏と圏同値である。 Set󰒪∘ は完備だから、 最後に命題 5.7 を使えば 󰒚 も完備であることが従う。

証明.

κ-到達可能圏 󰒚 をとり、 󰒪:=Presκ(󰒚) とおき、 制限 Yoneda 埋め込み z:󰒚→Set󰒪∘ を考える。 定理 5.6 と補題 5.3 によって z は忠実充満で、 補題 5.4 によって z は単射を保存する。 したがって、 任意の 󰒚 の対象 C に対し、 Ш: Sub󰒚(C) ⟶ SubSet󰒪∘(zC) m ⟼ zm は全単射である。 Set󰒪∘ は冪化可能なので Sub(zC) は集合サイズだから、 これより Sub(C) も集合サイズである。 以上により、 󰒚 は冪化可能である。