日記 (2019 年 8 月 7 日)
前回は、 層化関手が包含関手の左随伴になっていることを示した。
このことの 1 つの帰結として、 層の圏が余完備であることが分かる。
ついでなので、 層の圏の極限と余極限について、 ここでまとめておく。
定理 4.1.
景 (,J) をとる。
ShJ() は完備であり、 包含関手 i:ShJ()→PSh() は極限を保存する。
すなわち、 ShJ() の極限は PSh() の極限として計算できる。
証明.
図式 Φ:→ShJ() をとり、 これを前層の図式であると見なした極限を P とする。
すなわち、 P:=lim(i∘Φ) とおく。
P が層であることを示せば良い。
任意に被覆篩 S∈JC をとる。
各 j∈ に対して Φj は層だから、 命題 1.13 によって、
(Φj)Cf∈S:D→C(Φj)Df∈S:D→Cg:E→D(Φj)E
は等化子である。
なお、 ここに出てくる射は命題の通りである。
ここで、 等化子と任意の極限は交換するので、 この図式全体の極限をとれば、
PCf∈S:D→CPDf∈S:D→Cg:E→DPE
も等化子である。
すなわち、 P は層である。
定理 4.2.
景 (,J) をとる。
ShJ() は余完備であり、 層化関手 a:ShJ()→PSh() は余極限を保存する。
さらに、 ShJ() の余極限は PSh() の余極限として計算したものを層化することで得られる。
証明.
図式 Φ:→ShJ() および層 G∈ShJ() をとる。
定理 3.5 で示した随伴 a⊣i を用いると、
Hom(acolim(i∘Φ),G) ≅ Hom(colim(i∘Φ),iG) ≅ Hom(i∘Φ,ΔiG) ≅ Hom(Φ,ΔG)
が成り立ち、 これは G に関して自然である。
なお、 ΔiG,ΔG はそれぞれ iG,G を値とする定値関手である。
この式の最左辺と最右辺を比べることで、
colimΦ=acolim(i∘Φ)
が得られる。
すなわち、 ShJ() の余極限を計算するには、 まず PSh() の余極限として計算して、 その結果を層化すれば良い。
また、 a:ShJ()→PSh() が余極限を保存するのは、 右随伴をもつことから従う。
定理 4.3.
景 (,J) をとる。
層化関手 a:ShJ()→PSh() は有限極限を保存する。
証明.
定理 4.1 によって ShJ() の極限は PSh() の極限として計算でき、 層化はプラス構成 2 回として定義されていたので、 プラス構成関手 -+:PSh()→PSh() が有限極限を保存することを示せば良い。
有限図式 Φ:→PSh() および対象 C をとる。
JC∘ はフィルター圏であるから、 上の極限と JC∘ 上の余極限は交換する。
このことから、
(limj(Φj)+)C ≅ limj(Φj)+C = limjcolimSHom(S,Φj) ≅ colimSlimjHom(S,Φj) ≅ colimSHom(S,limjΦj) = (limjΦj)+C
が成り立つ。
すなわち、
limj(Φj)+≅(limjΦj)+
であるが、 これは -+ が Φ の極限を保存することを意味している。
参考文献
- S. MacLane, I. Moerdijk (1992) 『Sheaves in Geometry and Logic』 Springer