2-圏 󰒚,󰒛 と 2-弛緩関手 F,G:󰒚→󰒛 と 2-弛緩自然変換 σ,τ:F⇒G に対し、 Ξ が

• 󰒚 の対象 A に対し、 󰒛 の 2-射 ΞA:σA⇒τA が定まっている。

という情報から成り、 任意の 󰒚 の 1-射 f:A→B に対し、 2 通りの 2-射の合成 FAGAFBGBFfGfσAσBτBνABΞBFAGAFBGBFfGfσAτAτBνABΞB が等しいとする。 このとき、 Ξ を自然調整 (natural modification) といい、 Ξ:σ⇛τ で表す。

2-圏 󰒚,󰒛 において、 2-弛緩関手 F,G:󰒚→󰒛 および 2-弛緩自然変換 σ,τ,ρ:F⇒G および自然調整 Ξ:σ⇛τ,Ψ:τ⇛ρ をとる。 󰒚 の対象 A に対し、 (Ψ󰔂∘Ξ)A:=ΨA󰔇∘ΞA:σA⇒ρA によって定まる自然調整 Ψ󰔂∘Ξ:σ⇛ρ を、 Ξ と Ψ の垂直合成 (vertical composition) という。

2-圏 󰒚,󰒛 において、 2-弛緩関手 F,G,H:󰒚→󰒛 および 2-弛緩自然変換 σ,τ:F⇒G と ρ,φ:G⇒H および自然調整 Ξ:σ⇛τ,Ψ:ρ⇛φ をとる。 󰒚 の対象 A に対し、 (Ψ󰔂∗Ξ)A:=ΨA∗ΞA:ρA∘σA⇒φA∘τA によって定まる自然調整 Ψ󰔂∗Ξ:ρ󰔇∘σ⇛φ󰔇∘τ を、 Ξ と Ψ の水平合成 (horizontal composition) という。

2-圏 󰒚,󰒛 において、 2-弛緩関手 F,G,H:󰒚→󰒛 および 2-弛緩自然変換 σ:F⇒G と ρ,φ:G⇒H および自然調整 Ψ:ρ⇛φ をとる。 󰒚 の対象 A に対し、 (Ψ󰔂∗σ)A:=ΨA∗σA:ρA∘σA⇒φA∘σA によって定まる自然調整 Ψ󰔂∗σ:ρ󰔇∘σ⇛φ󰔇∘σ を、 σ と Ψ の左髭結合 (left whiskering) という。

2-圏 󰒚,󰒛 において、 2-弛緩関手 F,G,H:󰒚→󰒛 および 2-弛緩自然変換 σ,τ:F⇒G と ρ:G⇒H および自然調整 Ξ:σ⇛τ をとる。 󰒚 の対象 A に対し、 (ρ󰔂∗Ξ)A:=ρA∗ΞA:ρA∘σA⇒ρA∘τA によって定まる自然調整 ρ󰔂∗Ξ:ρ󰔇∘σ⇛ρ󰔇∘τ を、 Ξ と ρ の右髭結合 (right whiskering) という。

2-圏 󰒚,󰒛 をとる。 󰒚 と 󰒛 の間の 2-弛緩関手と 2-弛緩自然変換と自然調整が成す 2-圏を Funlax(󰒚,󰒛) で表す。 さらに、 2-擬関手と 2-擬自然変換のみを考えたものを Funps(󰒚,󰒛) で表し、 2-関手と 2-自然変換のみを考えたものを Fun(󰒚,󰒛) で表す。