関手 p:󰒜→󰒙 を考える。 󰒜 の射 f:X→Y が以下の条件を満たすとする。 すなわち、 󰒜 の射 g:Z→Y であって、 ある 󰒙 の射 w:pZ→pX によって pg=pf∘w と分解できるものに対し、 󰒜 の射 h:Z→X であって、 ph=w かつ f∘h=g をともに満たすものが唯一存在する。 このとき、 f は p に関してカルテシアン (cartesian) であるという。 図式では、 ZXYhgfpZpXpYwpgpf と表せる。

関手 p:󰒜→󰒙 を考える。 󰒜 の射 f:X→Y,f󰎘:X󰎘→Y がともにカルテシアンであって pf=pf󰎘 を満たすならば、 ある 󰒜 の同型射 φ:X→X󰎘 が存在して、 f󰎘∘φ=f となる。

関手 p:󰒜→󰒙 に対し、 任意の 󰒙 の射 u:I→J および 󰒜 の対象 Y で pY=J を満たすものに対し、 󰒜 のカルテシアン射 f:X→Y であって pf=u を満たすものが存在するとする。 このとき、 p をファイブレーション (fibration) という。 また、 f を p に沿った u の持ち上げ (lifting) といい、 f の定義域を u∗Y で表し、 f 自身は uY で表す。

圏 󰒚 に対し、 圏 󰒚→ を、

• 󰒚→ の対象は、 󰒚 の射 f:X→Y 全体とする。
• 󰒚→ の 2 つの対象 f:X→Y,f󰎘:X󰎘→Y󰎘 の間の射は、 図式 XX󰎘YYhff󰎘k を可換にするような射の組 (h,k) 全体とする。

によって定義する。

圏 󰒚 をとる。 図式 XX󰎘YYhff󰎘k によって定められる 󰒚→ の射 (h,k):f→f󰎘 に対し、 (h,k) が cod:󰒚→→󰒚 に関してカルテシアンであるための必要十分条件は、 上の図式が引き戻しとなることである。

圏 󰒚 をとる。 関手 cod:󰒚→→󰒚 がファイブレーションであるための必要十分条件は、 󰒚 が引き戻しをもつことである。

圏 󰒚 は引き戻しをもつとする。 ファイブレーション cod:󰒚→󰔊→󰒚 を 󰒚 に付随する終域ファイブレーション (codomain fibration) という。

圏 󰒚 に対し、 圏 Fam(󰒚) を、

• Fam(󰒚) の対象は、 何らかの集合 I で添字付けられた 󰒚 の対象の族 (Xi)i∈I 全体とする。
• Fam(󰒚) の 2 つの対象 (Xi)i∈I,(Yj)j∈J の間の射は、 写像 u:I→J および各 i∈I に対する 󰒚 の射 fi:Xi→Yu(i) の族の組 (u,(fi)i∈I) の全体とする。

によって定義する。

圏 󰒚 をとる。 関手 ind:Fam(󰒚)→Set は常にファイブレーションである。

圏 󰒚 をとる。 ファイブレーション ind:Fam(󰒚)󰔊→Set を 󰒚 に付随する族ファイブレーション (family fibration) という。

ファイブレーション p:󰒜󰔊→󰒙 を考える。 󰒙 の各対象 I に対し、 圏 󰒜I を、

• 󰒜I の対象は、 󰒜 の対象 X であって pX=I を満たすもの全体とする。
• 󰒜I の 2 つの対象 X,Y の間の射は、 󰒜 の射 f:X→Y であって pf=idI を満たすもの全体とする。

として定義する。 この 󰒜I を I 上のファイバー圏 (fibre category) という。

ファイブレーション p:󰒜󰔊→󰒙 を考える。 󰒜 の射 f:X→Y が p によって恒等射に移るとき、 f は垂直 (vertical) であるという。