証明.

Γ⊢󱁑A1 から Γ⊢󱁑An までが全て成り立つと仮定する。 定義により、 G11,⋯,G1m1,⋯,Gn1,⋯,Gnmn∈Γ が存在して、 ⊢󱁑G11∧⋯∧G1m1⇀A1⋯⊢󱁑Gn1∧⋯∧Gnmn⇀An が全て成り立つ。 すると、 命題 5.1 により、 ⊢󱁑G11∧⋯∧G1m1∧⋯∧Gn1∧⋯∧Gnmn⇀A1∧⋯∧An が成り立つ。 さらに今 ⊢󱁑A1∧⋯∧An⇀B が成り立つから、 再び命題 5.1 により、 ⊢󱁑G11∧⋯∧G1m1∧⋯∧Gn1∧⋯∧Gnmn⇀B が得られる。 すなわち、 Γ⊢󱁑B が示された。

証明.

条件 1 ⇒ 条件 2:Γ⊢󱁑A⇀B が成り立つと仮定する。 すると定義から、 G1,⋯,Gn∈Γ が存在して、 ⊢󱁑G1∧⋯∧Gn⇀(A⇀B) が成り立つ。 ここから命題 5.1 を使うことで、 ⊢󱁑G1∧⋯∧Gn∧A⇀B が得られる。 今 G1,⋯,Gn,A∈Γ∪{A} であるから、 Γ∪{A}⊢󱁑B が示された。

条件 2 ⇒ 条件 1:Γ∪{A}⊢󱁑B が成り立つと仮定する。 すると定義から、 G1,⋯,Gn∈Γ∪{A} が存在して、 ⊢󱁑G1∧⋯∧Gn⇀B が成り立つ。 ここで、 適宜順番を入れ替えることで、 ある k について G1,⋯,Gk∈Γ かつ Gk+1≡⋯≡Gn≡A が成り立つようにする。 このとき、 G1∧⋯∧Gn≡G1∧⋯∧Gk∧A∧⋯∧A であるから、 命題 5.1 を使うことで、 ⊢󱁑G1∧⋯∧Gk∧A⇀B が得られ、 さらに、 ⊢󱁑G1∧⋯∧Gk⇀(A⇀B) も得られる。 これは Γ⊢󱁑A⇀B を意味する。

証明.

条件 1 ⇒ 条件 2:対偶を示す。 ある式 A が存在して、 Γ⊢󱁑A と Γ⊢󱁑¬A が両方とも成り立っていると仮定する。 すると、 A∧¬A⇀⊥ が命題論理的恒真であることから、 命題 11.1 によって Γ⊢󱁑⊥ が成り立つ。 すなわち、 Γ は整合的でない。

条件 2 ⇒ 条件 1:こちらも対偶を示す。 Γ は整合的でないと仮定すると、 Γ⊢󱁑⊥ が成り立つ。 一方、 ¬⊥ は命題論理的恒真だから、 命題 11.1 によって Γ⊢󱁑¬⊥ も成り立つ。 すなわち、 Γ⊢󱁑⊥ と Γ⊢󱁑¬⊥ が両方とも成り立っているので、 条件 2 の否定が示された。

証明.

条件 1 ⇒ 条件 2:対偶を示す。 Γ⊢󱁑¬A が成り立つと仮定する。 命題 10.4 によって Γ∪{A}⊢󱁑¬A も成り立つ。 一方、 ⊢󱁑¬A⇀¬A であるから、 定義より Γ∪{¬A}⊢󱁑¬A も成り立つ。 したがって、 命題 11.3 によって Γ∪{A} は整合的でない。

条件 2 ⇒ 条件 1:こちらも対偶を示す。 Γ∪{A} は整合的でないと仮定する。 すなわち、 Γ∪{A}⊢󱁑⊥ が成り立つと仮定する。 すると、 命題 11.2 から Γ⊢󱁑A⇀⊥ が得られる。 さらに、 命題 11.1 を使えば Γ⊢󱁑¬A が分かる。

証明.

条件 1 ⇒ 条件 2:Γ⊢󱁑A が成り立つと仮定する。 矛盾を導くため、 A∉Γ であったとする。 すると、 Γ の極大整合性によって、 Γ∪{A} は整合的ではない。 したがって、 命題 11.4 によって Γ⊢󱁑¬A が成り立つ。 一方で最初に Γ⊢󱁑A と仮定していたから、 命題 11.3 によって Γ は整合的でない。 これは矛盾である。 したがって、 A∈Γ が示された。

条件 2 ⇒ 条件 1:A∈Γ が成り立つと仮定する。 常に ⊢󱁑A⇀A であるから、 定義より Γ⊢󱁑A が得られる。

証明.

命題 11.1 と命題 11.5 から明らかである。

証明.

主張 1:⊤ は命題論理的恒真だから、 命題 11.1 によって Γ⊢󱁑⊤ が成り立つ。 したがって、 命題 11.5 によって ⊤∈Γ が成り立つ。

主張 2:仮に ⊥∈Γ であったとすると、 命題 11.5 によって Γ⊢󱁑⊥ が成り立つが、 これは Γ の整合性に反する。 したがって、 ⊥∉Γ が示された。

主張 3:まず ¬A∈Γ が成り立つと仮定する。 ここで、 矛盾を導くためにさらに A∈Γ も成り立つとする。 すると、 命題 11.5 によって Γ⊢󱁑¬A と Γ⊢󱁑A がともに成り立つが、 命題 11.3 によって Γ が整合的でないことになってしまうので、 矛盾が生じる。 したがって、 A∉Γ が示された。

逆に、 A∉Γ が成り立つと仮定する。 ここで、 矛盾を導くためにさらに ¬A∉Γ も成り立つとする。 すると、 命題 11.5 によって Γ⊢󱁑¬A が成り立つことはないから、 命題 11.4 によって Γ∪{A} は整合的である。 Γ の極大性によって A∈Γ が成り立つことになるが、 これは最初の仮定に矛盾する。 したがって、 ¬A∈Γ が示された。

主張 4:まず A∧B∈Γ が成り立つと仮定する。 すると、 命題 11.5 によって Γ⊢󱁑A∧B が成り立つ。 今 A∧B⇀A と A∧B⇀B は命題論理的恒真だから、 それぞれに命題 11.1 を使うことで Γ⊢󱁑A と Γ⊢󱁑B が得られる。 再び命題 11.5 を使えば A∈Γ かつ B∈Γ が示された。

逆に、 A∈Γ かつ B∈Γ が成り立つと仮定する。 すると、 命題 11.5 によって Γ⊢󱁑A と Γ⊢󱁑B がともに成り立つ。 すなわち定義により、 式 G1,⋯,Gn,H1,⋯,Hm∈Γ が存在して、 ⊢󱁑G1∧⋯∧Gn⇀A⊢󱁑H1∧⋯∧Hm⇀B がともに成り立つ。 ここから命題 5.1 により、 ⊢󱁑G1∧⋯∧Gn∧H1∧⋯∧Hm⇀A∧B が得られるから、 定義より Γ⊢󱁑A∧B が分かる。 最後に、 命題 11.5 を使えば A∧B∈Γ が示された。

主張 5:両者の否定をとって、 A∨B∉Γ であることと A∉Γ かつ B∉Γ であることが同値であることを示せば良い。 ここで、 A∨B∉Γ であることは、 主張 3 により ¬(A∨B)∈Γ であることと同値である。 一方で、 A∉Γ かつ B∉Γ が成り立つことは、 主張 3 により ¬A∈Γ かつ ¬B∈Γ が成り立つことと同値であり、 さらに主張 4 により ¬A∧¬B∈Γ であることとも同値である。 したがって、 結局 ¬(A∨B)∈Γ と ¬A∧¬B∈Γ が同値であることを示せば良い。 これは、 ¬(A∨B)⥎¬A∧¬B が命題論理的恒真であることから、 命題 11.6 を使えば分かる。

主張 6:証明の方針は主張 5 と同じである。 主張 3 と主張 4 を使うことで ¬(A⇀B)∈Γ と A∧¬B∈Γ の同値性に帰着でき、 これは命題 11.6 を使うことで示すことができる。

証明.

主張 1 ⇒ 主張 2:Γ⊢󱁑A が成り立つと仮定する。 任意に 󱁑-極大整合的集合 Δ をとって、 Γ⊆Δ であるとする。 すると、 命題 10.4 により Δ⊢󱁑A が成り立ち、 命題 11.5 により A∈Δ が得られる。

主張 2 ⇒ 主張 1:対偶を示すため、 Γ⊢󱁑A が成り立たないと仮定する。 すると、 命題 11.1 により Γ⊢󱁑¬¬A も成り立たないので、 命題 11.4 により Γ∪{¬A} は整合的である。 そこで命題 10.9 を使って、 極大整合的集合 Δ であって Γ∪{¬A}⊆Δ を満たすものをとる。 特に ¬A∈Δ であるから、 命題 11.7 により A∉Δ が得られる。 これで、 主張 2 の否定が示された。

証明.

◻−1Γ⊆Δ が成り立つと仮定する。 任意に式 A∈Δ をとると、 命題 11.7 によって ¬A∉Δ が成り立つ。 すると、 仮定から ¬A∉◻−1Γ が分かり、 これは ◻¬A∉Γ であることを意味する。 再び命題 11.7 を使えば ¬◻¬A∈Γ が得られる。 ところで ⊢󱁑¬◻¬A⥎⬦A であるから、 命題 11.6 によって ⬦A∈Γ が分かり、 すなわち A∈⬦−1Γ が得られる。 A は任意だったから、 これで Δ⊆⬦−1Γ が示された。

逆に、 Δ⊆⬦−1Γ が成り立つと仮定する。 任意に式 A∈◻−1Γ をとると、 まず ◻A∈Γ が成り立つ。 ⊢󱁑◻A⥎¬⬦¬A であるから、 命題 11.6 によって ¬⬦¬A∈Γ が分かる。 したがって、 命題 11.7 によって ⬦¬A∉Γ が得られ、 さらに ¬A∉⬦−1Γ も分かる。 すると、 仮定から ¬A∉Δ が分かるが、 さらに命題 11.6 によって A∈Δ も得られる。 A は任意だったから、 これで ◻−1Γ⊆Δ が示された。

証明.

主張 1:まず ◻A∈Γ が成り立つと仮定する。 任意に極大整合的集合 Δ であって ◻−1Γ⊆Δ を満たすものをとると、 仮定から A∈◻−1Γ なので、 A∈Δ が得られる。

逆に、 極大整合的集合 Δ であって ◻−1Γ⊆Δ を満たすものに対して A∈Δ が成り立つことを仮定する。 命題 11.8 により、 これは ◻−1Γ⊢󱁑A が成り立つことを意味する。 つまり、 式 G1,⋯,Gn∈◻−1Γ が存在して、 ⊢󱁑G1∧⋯∧Gn⇀A が成り立つということである。 すると、 命題 5.2 により、 ⊢󱁑◻G1∧⋯∧◻Gn⇀◻A が得られる。 G1,⋯,Gn∈◻−1Γ だったから ◻G1,⋯,◻Gn∈Γ が成り立つので、 これより Γ⊢󱁑◻A が分かる。 最後に命題 11.5 により、 ◻A∈Γ が示された。

主張 2:互いの否定が同値であることを示す。 前者の否定すなわち ⬦A∉Γ であることは、 命題 11.7 によって ¬⬦A∈Γ であることと同値であり、 命題 11.6 によって ◻¬A∈Γ であることとも同値である。 主張 1 によって、 このことは、

• 󱁑-極大整合的集合 Δ であって ◻−1Γ⊆Δ を満たすもの全てに対して、 ¬A∈Δ が成り立つ。

と同値である。 ところで、 命題 11.9 によって ◻−1Γ⊆Δ と Δ⊆⬦−1Γ が同値で、 命題 11.7 によって ¬A∈Δ と A∉Δ が同値だから、 結局これは、

• 󱁑-極大整合的集合 Δ であって Δ⊆⬦−1Γ を満たすもの全てに対して、 A∉Δ が成り立つ。

とも同値である。 これはまさに後者の否定である。