証明.

定義から明らかである。

証明.

Γ⊢󱁑A が成り立つと仮定する。 導出可能性の定義から、 ある式 G1,⋯,Gn∈Γ が存在して ⊢󱁑G1∧⋯∧Gn⇀A が成り立つ。 ここで、 Γ⊆Δ であるから G1,⋯,Gn∈Δ でもある。 したがって、 Δ⊢󱁑A が成り立つ。

証明.

対偶をとって、 Γ が整合的でなければ Δ も整合的でないことを示せば良い。 すなわち、 Γ⊢󱁑⊥ が成り立つならば Δ⊢󱁑⊥ も成り立つことを示せば良いが、 それは命題 10.4 から従う。

証明.

条件 1 ⇒ 条件 2:Γ⊢󱁑A が成り立つと仮定する。 すると、 ある式 G1,⋯,Gn∈Γ が存在して ⊢󱁑G1∧⋯∧Gn⇀A が成り立つ。 ここで、 集合 Γ∘:={G1,⋯,Gn} とおくと、 Γ∘ は Γ の有限部分集合であり、 Γ∘⊢󱁑A が成り立つ。

条件 2 ⇒ 条件 1:これは命題 10.4 によって明らかである。

証明.

両者の対偶をとることで、 結局、 2 条件

• Γ⊢󱁑⊥ が成り立つ。
• ある有限部分集合 Γ∘⊆Γ に対して、 Γ∘⊢󱁑⊥ が成り立つ。

が同値であることを示せば良いが、 それは命題 10.6 からすぐに従う。

証明.

Γ が整合的であると仮定する。 また、 式は可算個しかないので、 全ての式を適当に番号付けして A1,A2,⋯ としておく。

式の集合の列 (Δn)n≥0 を、 Δ0 := Γ Δn := { Δn−1∪{An} (Δn−1∪{An} は整合的) Δn−1 (上記以外)(n≥1) と再帰的に定義する。 すると明らかに、 これは集合の増大列であって、 各 Δn は整合的である。

この列を用いて、 Δ:=󰆊n≥0Δn とし、 これが主張の性質を満たすことを以下に示す。

まず、 Γ=Δ0⊆Δ であることから、 Γ⊆Δ が成り立つことはすぐに分かる。

次に、 Δ が整合的であることを示す。 そのためには、 命題 10.7 により、 任意の有限部分集合 Δ󰎘⊆Δ が整合的であることを示せば良い。 そこで逆に、 ある有限部分集合 Δ󰎘⊆Δ が整合的ではないと仮定する。 これは有限集合だから、 Δ󰎘=:{An1,⋯,Ank} と書ける。 ここで、 各 i に対して、 Ani∈Δ であるので、 Δ の定義によってある mi が存在して Ani∈Δmi である。 こうして得られた m1,⋯,mk のうち最大のものを m とおく。 すると、 任意の i に対して、 Δmi⊆Δm であることから Ani∈Δm が分かる。 すなわち、 Δ󰎘⊆Δm が成り立つ。 最初の仮定から Δ󰎘 は整合的ではないので、 命題 10.5 によって Δm も整合的ではないはずであるが、 これは矛盾である。 したがって、 Δ が整合的であることが示された。

最後に、 Δ が極大整合的であることを示す。 そのために、 任意に式 A をとり、 Δ∪{A} が整合的であると仮定する。 全ての式に番号付けをしたので、 ある n が存在して A=An である。 ここで、 Δn−1∪{An}⊆Δ∪{An} であるから、 命題 10.5 によって Δn−1∪{An} は整合的である。 すると、 定義により Δn=Δn−1∪{An} が成り立つから、 A=An∈Δn−1∪{An}=Δn⊆Δ となり、 結局 A∈Δ が得られた。 これで、 Δ が極大整合的であることも示された。