圏 󰒚 に対し、 関手 P:󰒚∘×󰒚→Set のことを自己プロ関手 (endoprofunctor) といい、 P:󰒚⇸󰒚 で表す。

有限積をもつ圏 󰒚 上の自己プロ関手 P:󰒚⇸󰒚 をとる。 対象 M,X,󰔄X に対し、 全ての変数に関して自然な射 ξMX󰔄X:P(X,󰔄X)⟶P(M×X,M×󰔄X) が定まっていて、 任意の対象 M,N,X,󰔄X に対し、 図式 P(X,󰔄X)P((M×N)×X,(M×N)×󰔄X)P(N×X,N×󰔄X)P(M×(N×X),M×(N×󰔄X))ξM×N,X,󰔄XξNX󰔄XξM,N×X,N×󰔄X P(X,󰔄X)P(1×X,1×󰔄X)P(X,󰔄X)ξ1X󰔄X が全て可換であるとする。 なお、 ラベルのない射は標準的な同型射を表している。 このとき、 ξ を P に対する Tambara 構造 (— structure) といい、 組 (P,ξ) を Tambara 加群 (— module) という。

有限積をもつ圏 󰒚 上の Tambara 加群 (P,ξ),(Q,ζ):󰒚⇸󰒚 および自然変換 θ:P⇒Q をとる。 任意の対象 M,X,󰔄X に対し、 P(X,󰔄X)Q(X,󰔄X)P(M×X,M×󰔄X)Q(M×X,M×󰔄X)θX󰔄XθM×X,M×󰔄XξMX󰔄XζMX󰔄X が可換であるとき、 θ を Tambara 加群の射 (morphism of — modules) といい、 θ:(P,ξ)⇒(Q,ζ) で表す。

有限積をもつ圏 󰒚 をとる。 圏 Tamb(󰒚) を、

• Tamb(󰒚) の対象は、 󰒚 上の Tambara 加群 (P,ξ) の全体とする。
• Tamb(󰒚) の 2 つの対象 (P,ξ),(Q,ζ) の間の射は、 Tambara 加群の射 θ:(P,ξ)⇒(Q,ζ) の全体とする。

によって定義する。

関手 i:End(󰒚)→EndProf(󰒚) は関手 i:StrEnd(󰒚)→Tamb(󰒚) に拡張される。 すなわち、 StrEnd(󰒚)Tamb(󰒚)End(󰒚)EndProf(󰒚)ii を可換にする上部の水平な破線の関手が存在する。 ここで、 垂直な矢印は忘却関手である。

有限積をもつ圏 󰒚 をとる。 対象 A,󰔄A に対し、 -(A,󰔄A): Tamb(󰒚) ⟶ Set (P,ξ) ⟼ P(A,󰔄A) とおく。 このとき、 対象 S,󰔄S,A,󰔄A に対し、 自然変換 φ:-(A,󰔄A)⇒-(S,󰔄S) をプロ関手レンズ (profunctor lens) という。

有限積をもつ圏 󰒚 をとる。 圏 PLens(󰒚) を、

• PLens(󰒚) の対象は、 󰒚 の 2 つの対象の組 (S,󰔄S) の全体とする。
• PLens(󰒚) の 2 つの対象 (S,󰔄S),(A,󰔄A) の間の射は、 プロ関手レンズ φ:-(A,󰔄A)⇒-(S,󰔄S) の全体とする。 すなわち、 HomPLens(󰒚)((S,󰔄S),(A,󰔄A))=Hom[Tamb(󰒚),Set](-(A,󰔄A),-(S,󰔄S)) である。
• PLens(󰒚) の射の合成は、 通常の自然変換の合成を逆向きに行うものとする。

によって定義する。

カルテシアン閉圏 󰒚 をとる。 対象 A,󰔄A に対し、 関手 -(A,󰔄A):Tamb(󰒚)→Set は表現可能であり、 その表現対象は (iEA󰔄A,iρA󰔄A) である。

カルテシアン閉圏 󰒚 をとる。 対象 S,󰔄S,A,󰔄A に対し、 全単射 HomPLens(󰒚)((S,󰔄S),(A,󰔄A))≅HomNLens(󰒚)((S,󰔄S),(A,󰔄A)) が存在する。

カルテシアン閉圏 󰒚 をとる。 圏同型 PLens(󰒚)≅LLens(󰒚)≅NLens(󰒚) が成立する。