Avendia19
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日記 (2021 年 5 月 12 日)

今回は、 Kan 拡張によって前層圏との間に定まる随伴について触れる。 これは 5 月 7 日の続きになっていて、 しばしば 5 月 7 日の命題を引用する。

後で使うので、 左随伴関手は左 Kan 拡張を保つという事実を示しておく。

定理 2.1

左随伴関手は左 Kan 拡張を保つ。

関手 F:󰒚󰒛,K:󰒚󰒪 をとり、 L:=LanKF が存在するとする。 また、 関手 G:󰒛󰒜,R:󰒜󰒛 が随伴 GH を成しているとする。 このとき、 GL=LanK(GF) であることを示せば良い。

命題 1.4 と随伴により、 任意の関手 L󰎘:󰒪󰒜 に対し、 Hom[󰒪,󰒜](GL,L󰎘) Hom[󰒪,󰒛](L,HL󰎘) Hom[󰒚,󰒛](F,HL󰎘K) Hom[󰒚,󰒜](GF,L󰎘K) が成り立ち、 これは L󰎘 に関して自然である。 したがって、 再び命題 1.4 によって、 GL=LanK(GF) が成り立つ。

Yoneda 埋め込みとの左 Kan 拡張を考えることにより、 ある小圏とその前層圏との間に標準的な随伴が誘導される。 以下、 小圏 󰒚 に対し、 Yoneda 埋め込みを y:󰒚Set󰒚 と書く。 また、 前層圏 Set󰒚 を考えているときは、 暗黙のうちに 󰒚 は小圏であると仮定する。

命題 2.2

関手 F:󰒚󰒛 をとる。 このとき、 LanFy:󰒛Set󰒚 が存在して各点であり、 各 󰒛 の対象 D に対し、 (LanFy)DHom(F-,D)Set󰒚 と表せる。

Set󰒚 は余完備だから、 定理 1.11 により LanFy は存在して各点である。 さらに、 命題 1.12 により、 󰒛 の対象 DSet󰒚 の対象 P に対し、 HomSet󰒚((LanFy)D,P)Hom[󰒚,Set](Hom(F-,D),Hom(y-,P)) が自然に成り立つ。 Yoneda の補題により Hom(y-,P)P であるから、 これより、 HomSet󰒚((LanFy)D,P)Hom[󰒚,Set](Hom(F-,D),P) が自然に成り立つ。 再び Yoneda の補題より、 (LanFy)DHom(F-,D) を得る。

命題 2.3

小圏 󰒚 に対し、 Lanyy:Set󰒚Set󰒚 が存在して各点であり、 LanyyidSet󰒚 である。

命題 2.2 により Lanyy は存在して各点で、 Set󰒚 の対象 P に対し、 (Lanyy)PHom(y-,P) が成り立つ。 Yoneda の補題により Hom(y-,P)P だから、 (Lanyy)PP となって命題の主張が従う。

定理 2.4

関手 F:󰒚󰒛 をとる。 もし LanyF:Set󰒚󰒛 が存在して各点であるならば、 随伴 LanyFLanFy が成り立つ。

Set󰒚 の対象 P󰒛 の対象 D に対し、 命題 1.12命題 2.2 を使うと、 Hom󰒛((LanyF)P,D) Hom[󰒚,Set](Hom(y-,P),Hom(F-,D)) Hom[󰒚,Set](P,(LanFy)D) が自然に成り立つことが分かる。 これはすなわち、 LanyFLanFy が成り立つということである。

逆に、 前層圏との間の随伴はこの形しかないことも示せる。

定理 2.5

関手 G:Set󰒚󰒛,H:󰒛Set󰒚 をとり、 󰒚 は小であるとする。 随伴 GH が成立するならば、 ある関手 F:󰒚󰒛 が存在して、 G=LanyF および H=LanFy が成り立つ。

F:=Gy とおくと定理の主張が成り立つことを示す。 G は左随伴関手だから、 定理 2.1 によって G は左 Kan 拡張を保存する。 したがって、 命題 2.3 によって、 GGLanyyLany(Gy)=LanyF が成り立つ。 Lanyy が各点だったから、 G=Lany(Gy) も各点である。 これより定理 2.4 が使えて、 随伴 GLanFy が成り立つ。 随伴の一意性により、 HLanFy である。

この形の随伴は、 代数幾何学の分野で出てくる単体的集合のナーブ関手と幾何学的実現関手が典型例であるため、 ナーブ実現随伴と呼ばれることもある。

参考文献

  1. E. Riehl (2016) 『Category Theory in Context』 Dover Publications