圏 󰒚,󰒪 と関手 F:󰒚→󰒪,G:󰒚→󰒪∘ に対し、 圏 Gl(󰒚;F,G) を以下のように定義する。

• Gl(󰒚;F,G) の対象は、 󰒚 の対象 A および 󰒪 の対象 S,󰔄S および 󰒪 の射 s:S→FA,󰔄s:󰔄S→GA から成る 5 つ組 (A;S,󰔄S,s,󰔄s) とする。
• Gl(󰒚;F,G) の 2 つの対象 (A;S,󰔄S,s,󰔄s),(B;T,󰔄T,t,󰔄t) の間の射は、 󰒚 の射 f:A→B および 󰒪 の射 h:S→T,󰔄h:󰔄T→󰔄S から成る 3 つ組 (f;h,󰔄h) であって、 図式 STFAFBhFfst󰔄T󰔄SGBGA󰔄hGf󰔄t󰔄s がともに可換であるものとする。

この圏 Gl(󰒚;F,G) を、 F と G による二重貼り合わせ圏 (double gluing category) という。

圏 󰒚,󰒪 と関手 F:󰒚→󰒪,G:󰒚→󰒪∘ が、 条件

• 󰒚,󰒪 はともに対称モノイダル閉圏である。
• 󰒪 は引き戻しをもつ。
• F:󰒚→󰒪 はモノイダル関手である。 すなわち、 󰒚 の対象 A,B に対して 󰒪 の射 󰔃χAB:FA⊗FB→F(A⊗B),χ:⊤→F⊤ が定まっており、 適切な整合性条件を満たす。
• 󰒚 の対象 A,B に対して 󰒪 の射 κAB:FA⊗G(A⊗B)→GB が定まっており、 これは A,B 両方に関して自然である。 さらに、 󰒚 の対象 A,B,C に対して、 FA⊗FB⊗G(A⊗B⊗C)FB⊗FA⊗G(A⊗B⊗C)FB⊗G(B⊗C)F(A⊗B)⊗G(A⊗B⊗C)GCσ⊗id󰔃χ⊗idid⊗κκκ⊤⊗GAGAF⊤⊗G(⊤⊗A)λχ⊗Gλ−1κ がともに可換である。 この射を F と G の簡約射 (contraction) と呼ぶ。

を満たすとする。 このとき、 Gl(󰒚;F,G) は対称モノイダル閉圏であり、 その構造は 󰒚 への忘却関手で厳密に保たれるようにとれる。

圏 󰒚 とその対象 ⫫ に対し、 圏 Gl(󰒚,⫫) を以下のように定義する。

• Gl(󰒚,⫫) の対象は、 󰒚 の対象 A および部分集合 S⊆Hom(⊤,A),󰔄S⊆Hom(A,⫫) から成る 3 つ組 (A;S,󰔄S) とする。
• Gl(󰒚,⫫) の 2 つの対象 (A;S,󰔄S),(B;T,󰔄T) の間の射は、 󰒚 の射 f:A→B であって、 任意の 󰒚 の射 s:⊤→A,󰔄t:B→⫫ に対し、 s∈S ⟹ s󰖡f∈T 󰔄t∈󰔄T ⟹ f󰖡󰔄t∈󰔄S を満たすものとする。

圏 󰒚 とその対象 ⫫ をとる。 󰒚 が対称モノイダル閉圏ならば、 Gl(󰒚;F,G) も対称モノイダル閉圏であり、 その構造は 󰒚 への忘却関手で厳密に保たれるようにとれる。