Avendia19
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日記 (2020 年 8 月 20 日)

今日は、 到達可能関手のコンマ圏が到達可能になることを示し、 その系として到達可能関手が解集合条件を満たすことを示す。

まず、 コンマ圏の余極限が以下のように得られることを思い出そう。

命題 8.1

関手 Φ:󰒚󰒜,Ψ:󰒛󰒜 をとり、 コンマ圏からの忘却関手をそれぞれ U:ΦΨ󰒚,V:ΦΨ󰒛 とする。 さらに、 図式 F:󰒠ΦΨ について、 C:=colim(F󰖡U)D:=colim(F󰖡V) が存在し、 Φ は余極限 C を保存するとする。 このとき、 ΦC の普遍性によって得られる 󰒜 の射 h:ΦCΨD は、 ΦΨ の対象として colimF を与える。

このことから、 コンマ圏の対象が表示可能になるための十分条件が得られる。

補題 8.2

正則基数 κ をとる。 関手 Φ:󰒚󰒜,Ψ:󰒛󰒜 を考える。 コンマ圏 ΦΨ の対象 h:ΦCΨD に対し、 ΦCΨD がともに 󰒜κ-表示可能ならば、 hΦΨκ-表示可能である。

命題 8.1 を用いれば容易である。

さらに、 到達可能関手のコンマ圏が到達可能になることが分かる。

定理 8.3

到達可能関手 Φ:󰒚󰒜,Ψ:󰒛󰒜 に対し、 コンマ圏 ΦΨ は到達可能である。

定理 7.5 により、 ある正則基数 κ がとれて、 ΦΨ がともに κ-到達可能かつ κ-表示対象を保つようにできる。 すると、 󰒚󰒛 はともに κ-有向余極限をもち、 さらに Φκ-有向余極限を保つから、 命題 8.1 によって ΦΨκ-有向余極限をもつ。 さらに、 󰒘:={hΦΨ:ΦCΨDΦCΨD はともに κ-表示可能} とおくと、 補題 8.2 によってこの元は全て κ-到達可能である。 また、 定理 4.5 によって 󰒜κ-到達可能対象は同型の違いを除いて集合サイズしかないから、 󰒘 は本質的小である。 したがって、 あとは ΦΨ の任意の対象が 󰒘 の元の κ-有向余極限として表せることを示せば良い。

任意に ΦΨ の対象 f:ΦCΨD をとる。 すると、 󰒚κ-表示可能対象の κ-有向図式 F:󰒠󰒚 とその余極限余錐 (ci:FiC)i󰒠 がとれる。 同様に、 󰒛κ-表示可能対象の κ-有向図式 G:󰒢󰒛 とその余極限余錐 (di:GkD)k󰒢 もとれる。 これを用いて、 󰒟:={h:ΦFiΨGk} ΦFiΦCΨGkΨDΦciΨdkhf が可換 } とおく。 さらに、 󰒟 上の順序関係 を次のように定める。 すなわち、 󰒟 の元 h:ΦFiΨGk,h󰎘:ΦFi󰎘ΨGk󰎘 に対し、 ii󰎘 かつ kk󰎘 であって、 ΦFiΦFi󰎘ΨGkΨGk󰎘hh󰎘 が可換になるとき、 hh󰎘 であると定義する。 以下、 この順序によって 󰒟κ-有向になることを示す。

󰒟 の元からなる集合 {hl:ΦFilΨGkl}lL であって濃度が κ 未満のものをとる。 󰒠κ-有向だから、 {il}lL の上界 󰔄i がとれる。 同様に、 {kl}lL の上界 󰔄k もとれる。 ここで、 Φκ-表示可能対象を保つので、 ΦF󰔄i󰒜κ-表示可能である。 また、 Ψκ-有向余極限を保つので、 (Ψdk:ΨGkΨD)k󰒢󰒜 内の κ-有向余極限である。 したがって、 ある 󰒢 の対象 k が存在して、 ΦF󰔄iΦCΨDΨGkΦc󰔄ifgΨdk という分解ができる。 ここで、 この k󰔄k であるとしても一般性は失われない。 実際、 そうでなければ k󰔄k の上界を改めて 󰔄k とおけば良い。

さて、 各 L の元 l に対し、 ΦFil󰔄i󰖡g󰖡Ψd󰔄k = ΦFil󰔄i󰖡Φc󰔄i󰖡f = Φcil󰖡f = hl󰖡Ψdkl = hl󰖡ΨGkl󰔄k󰖡Ψd󰔄k が成り立つ。 ΦFilκ-表示可能であって (Ψdk:ΨGkΨD)k󰒢κ-有向余極限だから、 分解の本質的一意性によって、 󰒢 の対象 kl󰎘 が存在して、 󰔄kkl󰎘 であって、 ΦFil󰔄i󰖡g󰖡ΨG󰔄kkl󰎘=hl󰖡ΨGkl󰔄k󰖡ΨG󰔄kkl󰎘 が成り立つ。 このようにして得られた 󰒢 の対象の集合 {kl󰎘}lL の上界 󰔄k󰎘 をとると、 任意の L の元 l に対し、 ΦFil󰔄i󰖡g󰖡ΨG󰔄k󰔄k󰎘=hl󰖡ΨGkl󰔄k󰎘 が一斉に成り立つ。 図式で書けば、 ΦFilΦF󰔄iΨGkΨGklΨG󰔄k󰎘hlg は可換である。 これはすなわち、 この右辺の垂直な射を 󰔄h:ΦF󰔄iΨG󰔄k󰎘 とおけば、 󰔄h{hl}lL の上界であるということである。 以上により、 󰒟κ-有向である。

さて、 H: 󰒟 ΦΨ h h とおくと、 これは 󰒘 の元の κ-有向図式である。 さらに、 これの余錐 ((ci,dk):Hhf)h󰒟:ΦFiΨGk が余極限になることが容易に示せる。 これにより、 f󰒘 の元の κ-有向余極限として表せた。

この定理の系として、 到達可能関手は解集合条件を満たすことが示せる。

定義 8.4

関手 Φ:󰒚󰒛 をとり、 次の条件を満たすとする。 任意の 󰒛 の元 D に対し、 󰒛 の射から成る集合 {gl:DΦCl}lL が存在して、 任意の 󰒛 の射 f:DΦC に対し、 ある L の元 l󰒚 の射 h:ClC が存在して、 DΦCΦClfglΦh が可換になる。 このとき、 Φ解集合条件solution set condition を満たすといい、 {gl:DΦCl}lLD解集合solution set という。

定理 8.5

到達可能関手 Φ:󰒚󰒛 に対し、 Φ は解集合条件を満たす。

任意に 󰒛 の元 D をとる。 定理 8.3 により、 ある正則基数 κ について DΦκ-到達可能である。 ここで、 󰒘:=Ob(Presκ(DΦ)) が解集合になることを示す。

任意に 󰒛 の射 f:DΦC をとる。 これは DΦ の対象だから、 DΦκ-表示可能対象の κ-有向図式 F:󰒠DΦ が存在して、 f=colimF と書ける。 その余極限余錐を (ci:Fif)i󰒠 とおく。 ここで、 特に 󰒠 は空でないから、 󰒠 の対象 i を 1 つ選べば、 DΦ の射 ci:Fif が存在することになる。 Fi󰒛 の射として Fi:DΦCi であるとすれば、 これは、 DΦCΦCifFiΦci が可換であるということである。 Fiκ-表示可能だから、 同型の違いを除いて 󰒘 の元である。 したがって、 f󰒘 の元を経由する形で分解できる。 以上により、 󰒘 は解集合である。

参考文献

  1. J. Adámek, J. Rosický (1994) 『Locally Presentable and Accessible Categories』 Cambridge University Press