証明.

命題 8.1 を用いれば容易である。

証明.

定理 7.5 により、 ある正則基数 κ がとれて、 Φ と Ψ がともに κ-到達可能かつ κ-表示対象を保つようにできる。 すると、 󰒚 と 󰒛 はともに κ-有向余極限をもち、 さらに Φ は κ-有向余極限を保つから、 命題 8.1 によって Φ↓Ψ は κ-有向余極限をもつ。 さらに、 󰒘:={h∈Φ↓Ψ:ΦC→ΨD∣ΦC と ΨD はともに κ-表示可能} とおくと、 補題 8.2 によってこの元は全て κ-到達可能である。 また、 定理 4.5 によって 󰒜 の κ-到達可能対象は同型の違いを除いて集合サイズしかないから、 󰒘 は本質的小である。 したがって、 あとは Φ↓Ψ の任意の対象が 󰒘 の元の κ-有向余極限として表せることを示せば良い。

任意に Φ↓Ψ の対象 f:ΦC→ΨD をとる。 すると、 󰒚 の κ-表示可能対象の κ-有向図式 F:󰒠→󰒚 とその余極限余錐 (ci:Fi→C)i∈󰒠 がとれる。 同様に、 󰒛 の κ-表示可能対象の κ-有向図式 G:󰒢→󰒛 とその余極限余錐 (di:Gk→D)k∈󰒢 もとれる。 これを用いて、 󰒟:={h:ΦFi→ΨGk| ΦFiΦCΨGkΨDΦciΨdkhf が可換 { とおく。 さらに、 󰒟 上の順序関係 ≤ を次のように定める。 すなわち、 󰒟 の元 h:ΦFi→ΨGk,h󰎘:ΦFi󰎘→ΨGk󰎘 に対し、 i≤i󰎘 かつ k≤k󰎘 であって、 ΦFiΦFi󰎘ΨGkΨGk󰎘hh󰎘 が可換になるとき、 h≤h󰎘 であると定義する。 以下、 この順序によって 󰒟 が κ-有向になることを示す。

󰒟 の元からなる集合 {hl:ΦFil→ΨGkl}l∈L であって濃度が κ 未満のものをとる。 󰒠 は κ-有向だから、 {il}l∈L の上界 󰔄i がとれる。 同様に、 {kl}l∈L の上界 󰔄k もとれる。 ここで、 Φ は κ-表示可能対象を保つので、 ΦF󰔄i は 󰒜 で κ-表示可能である。 また、 Ψ は κ-有向余極限を保つので、 (Ψdk:ΨGk→ΨD)k∈󰒢 は 󰒜 内の κ-有向余極限である。 したがって、 ある 󰒢 の対象 k が存在して、 ΦF󰔄iΦCΨDΨGkΦc󰔄ifgΨdk という分解ができる。 ここで、 この k が 󰔄k であるとしても一般性は失われない。 実際、 そうでなければ k と 󰔄k の上界を改めて 󰔄k とおけば良い。

さて、 各 L の元 l に対し、 ΦF❲il↪󰔄i❳󰖡g󰖡Ψd󰔄k = ΦF❲il↪󰔄i❳󰖡Φc󰔄i󰖡f = Φcil󰖡f = hl󰖡Ψdkl = hl󰖡ΨG❲kl↪󰔄k❳󰖡Ψd󰔄k が成り立つ。 ΦFil は κ-表示可能であって (Ψdk:ΨGk→ΨD)k∈󰒢 は κ-有向余極限だから、 分解の本質的一意性によって、 󰒢 の対象 kl󰎘 が存在して、 󰔄k≤kl󰎘 であって、 ΦF❲il↪󰔄i❳󰖡g󰖡ΨG❲󰔄k↪kl󰎘❳=hl󰖡ΨG❲kl↪󰔄k❳󰖡ΨG❲󰔄k↪kl󰎘❳ が成り立つ。 このようにして得られた 󰒢 の対象の集合 {kl󰎘}l∈L の上界 󰔄k󰎘 をとると、 任意の L の元 l に対し、 ΦF❲il↪󰔄i❳󰖡g󰖡ΨG❲󰔄k↪󰔄k󰎘❳=hl󰖡ΨG❲kl↪󰔄k󰎘❳ が一斉に成り立つ。 図式で書けば、 ΦFilΦF󰔄iΨGkΨGklΨG󰔄k󰎘hlg は可換である。 これはすなわち、 この右辺の垂直な射を 󰔄h:ΦF󰔄i→ΨG󰔄k󰎘 とおけば、 󰔄h は {hl}l∈L の上界であるということである。 以上により、 󰒟 は κ-有向である。

さて、 H: 󰒟 ⟶ Φ↓Ψ h ⟼ h とおくと、 これは 󰒘 の元の κ-有向図式である。 さらに、 これの余錐 ((ci,dk):Hh→f)h∈󰒟:ΦFi→ΨGk が余極限になることが容易に示せる。 これにより、 f が 󰒘 の元の κ-有向余極限として表せた。

証明.

任意に 󰒛 の元 D をとる。 定理 8.3 により、 ある正則基数 κ について D↓Φ は κ-到達可能である。 ここで、 󰒘:=Ob(Presκ(D↓Φ)) が解集合になることを示す。

任意に 󰒛 の射 f:D→ΦC をとる。 これは D↓Φ の対象だから、 D↓Φ の κ-表示可能対象の κ-有向図式 F:󰒠→D↓Φ が存在して、 f=colimF と書ける。 その余極限余錐を (ci:Fi→f)i∈󰒠 とおく。 ここで、 特に 󰒠 は空でないから、 󰒠 の対象 i を 1 つ選べば、 D↓Φ の射 ci:Fi→f が存在することになる。 Fi が 󰒛 の射として Fi:D→ΦCi であるとすれば、 これは、 DΦCΦCifFiΦci が可換であるということである。 Fi は κ-表示可能だから、 同型の違いを除いて 󰒘 の元である。 したがって、 f は 󰒘 の元を経由する形で分解できる。 以上により、 󰒘 は解集合である。