証明.

補題 1.2 を用いて Set での余極限を書き下すと証明できる。 条件 3 との同値性については、 定理 2.8 によって κ-有向余極限と κ-フィルター余極限が同じものであることを利用する。 詳細は省略する。

証明.

λ-有向余極限は明らかに κ-有向余極限である。 したがって、 Hom(C,-) が κ-有向余極限を保存するならば、 それは λ-有向余極限も保存する。

証明.

κ-小図式 G:󰒢→󰒚 の余極限 (ck:Gk→C)k∈󰒢 で、 󰒢 の各対象 k について 󰒚 で Gk が κ-表示可能であるものをとる。 このとき、 C も κ-表示可能であることを示せば良い。 そのために補題 3.2 を用いる。

κ-有向図式 F:󰒠→󰒚 の余極限 (di:Fi→D)i∈󰒠 および 󰒚 の射 f:C→D をとる。 f が本質的に一意に分解できることを示せば良い。 まず、 󰒢 の各対象 k について ck󰖡f:Gk→D を考えると、 Gk が κ-表示可能で D が κ-有向余極限であることから、 補題 3.2 によってある 󰒠 の対象 jk が存在して、 GkCDFjkckfdjk という分解が存在する。 ここで、 󰒢 が κ-小であることから 󰒢 の対象の個数は κ 未満であり、 󰒠 は κ-有向なので、 {jk}k∈󰒢 の上界 󰔄j が存在する。 さらに、 この 󰔄j について、 󰒢 の各対象 k について ck󰖡f は、 GkCDF󰔄jckfgkd󰔄j と一斉に分解できる。

次に、 󰒢 の射 u:k→k󰎘 をとる。 すると、 (ck)k∈󰒢 が G の余錐であることから、 Gu󰖡gk󰎘󰖡d󰔄j=Gu󰖡ck󰎘󰖡f=ck󰖡f=gk󰖡d󰔄j が成り立つ。 これはつまり、 ck󰖡f の d󰔄j を経由する分解が、 gk によるものと Gu󰖡gk󰎘 によるものの 2 通りあるということである。 そのような分解は本質的に一意であったから、 ある 󰒠 の対象 iu が存在して、 󰔄j≤iu が成り立ち、 GkGk󰎘F󰔄jF󰔄jFiuGugk󰎘gk が可換である。 󰒢 が κ-小であることから 󰒢 の射の個数は κ 未満であり、 󰒠 は κ-有向なので、 {iu}u:k→k󰎘∈󰒢 の上界 󰔄i が存在する。 そして、 この 󰔄i について、 󰒢 の各射 u:k→k󰎘 に対して、 GkGk󰎘F󰔄jF󰔄jF󰔄iGugk󰎘gk が一斉に可換になる。 このことは、 (gk󰖡F❲󰔄j↪󰔄i❳:Gk→F󰔄j)k∈󰒢 が G の余錐になることを意味している。

これにより、 余極限の普遍性から、 ある射 g:C→F󰔄i が存在し、 任意の 󰒢 の各対象 k に対し、 GkCF󰔄jF󰔄ickggk は可換である。 したがって、 ck󰖡f=gk󰖡d󰔄j=gk󰖡F❲󰔄j↪󰔄i❳󰖡d󰔄i=ck󰖡g󰖡d󰔄i が成り立つ。 (ck)k∈󰒢 は余極限だったので、 分解の一意性により、 f=g󰖡d󰔄i が成り立つ。 これが、 可能であることを示したかった f の分解である。

次に、 f の分解が本質的に一意であることを示す。 󰒠 の対象 i と 󰒚 の射 g,g󰎘:C→Fi を用いて、 f=g󰖡di=g󰎘󰖡di という 2 通りの分解ができたとする。 すると、 任意の 󰒢 の対象 k に対して、 ck󰖡f:Gk→D の 2 通りの分解 ck󰖡f=ck󰖡g󰖡di=ck󰖡g󰎘󰖡di が存在することになる。 Gk は κ-表示可能で D は κ-有向余極限なので、 補題 3.2 によってある 󰒠 の対象 i が存在して、 ck󰖡g󰖡F❲i↪󰔄i❳=ck󰖡g󰎘󰖡F❲i↪󰔄i❳ が成り立つ。 (ck)k∈󰒢 は余極限だったので、 これより g󰖡F❲i↪󰔄i❳=g󰎘󰖡F❲i↪󰔄i❳ が成り立つが、 これは f の分解が本質的に一意であるということである。