証明.

余極限の普遍性を愚直に確かめれば良い。

証明.

集合 C を像とする定値関手を ΔC:󰒠→Set で表すと、 Hom(i,-) の余錐 (cj:Hom(i,j)→C)j∈󰒠 とは自然変換 c:Hom(i,-)⇒ΔC に他ならない。 Yoneda の補題によって、 そのような自然変換は元 󰔃c∈C と対応し、 任意の 󰒠 の射 f:i→j に対して cjf=󰔃c が成り立つ。 これはすなわち、 図式 Hom(i,j)1C!󰔃ccj が可換であるということである。 さらに、 これを可換にするような 󰔃c は明らかに一意である。 このことは、 自明な余錐 (!:Hom(i,j)→1)j∈󰒠 が余極限であることを意味している。

証明.

条件 1 ⇒ 条件 2:任意に 󰒠 の対象 i をとり、 F:=Hom(i,-):󰒠→Set とおく。 補題 1.2 により、 colim(H󰖡F)=(󰄘k∈󰒢Hom(i,Hk)(/∼ と書け、 ここでの同値関係 ∼ は、 x:i→Hk と x󰎘:i→Hk󰎘 に対して、 x∼x󰎘⟸∃u:k→k󰎘x󰖡Hu=x󰎘 を満たす最小の同値関係である。 ここで、 x󰖡Hu=x󰎘 が成り立つことは、 i↓H の射として u:x→x󰎘 であることと同値である。 したがって、 x∼x󰎘 であるとは、 i↓H において x と x󰎘 が射で結ばれることを意味している。

一方、 仮定から colimF≅colim(H󰖡F) が成り立つが、 補題 1.3 によって colimF=1 であるから、 colim(H󰖡F)=1 も成り立つ。 これにより、 上の表示を使うと、 任意の ∐k∈󰒢Hom(i,Hk) の元が ∼ で結ばれるということが分かるが、 ∼ とは 2 つの元が i↓H の射で結ばれるという関係であった。 したがって、 i↓H の任意の対象が射で結ばれることになり、 さらに i↓H は空でないので、 i↓H は連結である。

条件 2 ⇒ 条件 1:任意に関手 F:󰒠→󰒚 をとる。 余極限とは余錐が成す圏の始対象であったから、 H󰖡F の余錐が成す圏と F の余錐が成す圏が圏同値であることを示せば良い。 今の場合、 特に圏同型であることが示せる。

任意に H󰖡F の余錐 (ck:FHk→C)k∈󰒢 をとる。 󰒠 の各対象 i に対し、 仮定から i↓H は空ではないので、 󰒢 の対象 ki と射 xi:i→Hki が存在する。 ここで 󰔃ci:=Fxi󰖡cki とおくと、 これは ki と xi によらずに i だけで決まる。 実際、 󰒢 の対象 ki, ki󰎘 と射 xi:i→Hki, xi󰎘:i→Hki󰎘 をとると、 i↓H が連結であることから、 xi と xi󰎘 は i↓H の射で結ばれる。 一般性を失わず、 射 u:xi→xi󰎘 が存在するとして良い。 すると、 (ck)k∈󰒢 が余錐であることから、 Fxi󰖡cki=Fxi󰖡Fu󰖡cki󰎘=Fxi󰎘󰖡cki󰎘 が得られた。 以上により、 󰒠 の各対象 i に対して射 󰔃ci:Fi→C が定められたが、 これらは F の余錐 (󰔃ci:Fi→C)i∈󰒠 を構成することが容易に示せる。

逆に、 F の余錐 (󰔃ci:Fi→C)i∈󰒠 が与えられたとする。 このときは、 󰒢 の各対象 k に対して ck:=󰔃cHk とおけば、 これらは H󰖡F の余錐 (ck:FHk→C)k∈󰒢 を構成する。 さらに、 これは上記と逆の構成になっている。

また、 H󰖡F の 2 つの余錐 (ck:FHk→C)k∈󰒢,(ck󰎘:FHk→C󰎘)k∈󰒢 から、 上記の構成で F の余錐 (󰔃ci:Fi→C)i∈󰒠,(󰔃ci󰎘:Fi→C󰎘)i∈󰒠 をそれぞれ構成すると、 前者 2 つの余錐の間の射はそのまま後者 2 つの余錐の間の射になる。 以上のことから、 H󰖡F の余錐が成す圏と F の余錐が成す圏は圏同型であることが従う。