Avendia19
English

日記 (2020 年 3 月 14 日)

集合と写像が成す圏 Set は最も基本的な圏の 1 つであるということに異論はないと思うが、 この Set の特徴付け、 すなわちある圏が Set と圏同値であるための必要十分条件として、 以下が知られている。

1

局所小圏 󰒘Set と圏同値であるための必要十分条件は、 共変 Yoneda 埋め込み関手 Y:󰒘Set󰒘 を右端とする長さ 5 の随伴列 UVWXY が存在することである。

この定理は、 Wood1 によって予想され、 Rosebrugh–Wood2 によって証明されたものである。 この事実が何に使えるのかはよく分からないが、 とにかく結果の意味不明さに興味をもったので、 日記としてまとめながら証明を追ってみようと思う。

今日は定理の証明の前半部分として、 主張の必要性、 すなわち Set において問題の随伴列が構成できることを示す。 これは、 以下の 3 つの補題から従う。

2

関手 F:󰒚󰒛 について、 󰒚 が小圏で 󰒛 が局所小圏ならば、 関手 F: Set󰒛 Set󰒚 Q QF は右随伴と左随伴をもつ。 すなわち、 随伴列 FFF が存在する。

󰒛 の対象 D に対し、 コンマ圏 DF を考える。 これは次のような圏である。

このコンマ圏を用いて、 関手 F を次のように定義する。 F: Set󰒚 Set󰒛 P 󰒛 Set D colim(C,f)DFPC 󰒚 が小圏で 󰒛 が局所小圏であることから DF は小圏であり、 Set は余完備であるから、 式中の余極限は常に存在する。 この FF の左随伴関手を与える。 それを示すには、 Set󰒚 の対象 PSet󰒛 の対象 Q に対し、 集合としての自然な同型 HomSet󰒚(P,FQ)HomSet󰒛((F)P,Q) を示せば良い。

まず、 左辺の集合の元 (すなわち自然変換) α:PFQ をとる。 󰒛 の対象 D および DF の対象 (C,f) に対し、 θD(C,f):=QfαC:PCQD とおく。 ここで、 任意の DF の射 h:(C,f)(C󰎘,f󰎘) に対して、 図式 PC󰎘PCQFC󰎘QFCQDαC󰎘αCPhQf󰎘QfQFh は可換であるが、 この図式の外側の可換性は θD(C,f) たちが colim(C,f)PC に関する余錐であることを意味している。 したがって、 余極限の普遍性によって、 写像 βD:colim(C,f)PCQD が得られる。 これは D に関して自然であることが容易に確かめられるので、 自然変換 β:(F)PQ が得られた。

逆に、 自然変換 β:(F)PQ が与えられたとする。 これは、 󰒛 の各対象 D に対して、 写像 βD:colim(C,f)PCQD が定まっているものである。 さらに余極限の構造射との合成により、 DF の各対象 (C,f) に対して、 射 θD(C,f):PCQD が得られる。 ここで、 特に D:=FC および f:=idFC とおけば、 射 αC:=θFC(C,id):PCQFC が得られる。 これは C に関して自然であることが容易に確かめられるので、 自然変換 α:PFQ が得られた。 以上の構成は互いに逆になっているので、 式 が示された。

なお、 右随伴関手 F の構成は同様であるため省略する。

3

局所小圏の間の関手 F:󰒚󰒛,G:󰒛󰒚 について、 随伴 FG が成立していれば FG も成立する。

随伴 FG の余単位を ε:FGid󰒛 とおくと、 P との合成によって、 Set󰒚 の射 ηP󰎘:=Pε:PPFG が得られる。 PFG=GFP であり、 上の射は P に関して自然だから、 自然変換 η󰎘:idSet󰒚GF が誘導される。 同様にして、 随伴 FG の単位 η:id󰒚GF からは、 自然変換 ε󰎘:FGidSet󰒚 が誘導される。 さらに、 ηε が随伴の三角可換図式を満たすことから、 η󰎘ε󰎘 も随伴の三角可換図式を満たすことが従う。 以上により、 FG が成り立つ。

4

小圏 󰒚 上の Yoneda 埋め込み関手を Y:󰒚Set󰒚 とし、 圏 Set󰒚 上の Yoneda 埋め込み関手を Z:Set󰒚Set(Set󰒚) とする。 このとき、 随伴 YZ が成り立つ。

記号の簡略化のため P󰒚:=Set󰒚 とおく。 PP󰒚 の対象 ΦP󰒚 の対象 P に対し、 集合としての自然な同型 HomP󰒚(YΦ,P)HomPP󰒚(Φ,ZP) を示せば良い。

左辺の集合の元 α:YΦP をとる。 P󰒚 の対象 R および 󰒚 の対象 C に対し、 ΦR の元 a および RC の元 b をとる。 Yoneda の補題によって RCHom(YC,R) が成り立つから、 この全単射を通して b と対応する射を 󰂡b:YCR とおく。 すると、 hR,Cb:=αCΦ󰂡b:ΦRPC が得られるから、 この写像による a の像を b に対応させる写像として、 γR,Ca: QC PC b hR,Cba が定義できる。 これは C に関して自然であることが分かるので、 自然変換 γRa:RP が得られる。 すると、 これを a に対応させる写像として、 ξR: ΦR HomP󰒚(R,P) a γRa が定義できる。 Hom(R,P)=(ZP)R であることと、 この写像が R に関して自然であることから、 自然変換 ξ:ΦZP が得られた。

逆に、 自然変換 ξ:ΦZP が与えられたとする。 󰒚 の対象 C に対して、 Yoneda の補題により (ZP)(YC)=Hom(YC,P)PC であるから、 この自然変換の YC-成分は、 αC:=ξYC:ΦYCPC という形の写像を与える。 これは C に関して自然であるから、 自然変換 α:YΦP が得られた。 以上の構成は互いに逆になっているので、 式 が示された。

以上の補題を用いると、 定理 1 の主張の必要性が証明できる。

5

Set 上の共変 Yoneda 埋め込み関手 Y:SetSetSet について、 それを右端とする長さ 5 の随伴列 UVWXY が存在する。

以下、 圏 󰒚 上の Yoneda 埋め込み関手を Y󰒚:󰒚Set󰒚 で表すことにする。 また、 対象と射を全くもたない圏を 0 で表し、 対象と射をそれぞれ 1 つしかもたない圏を 1 で表す。

まず Y0 に補題 2 を適用すると Y0Y0 が得られる。 さらに補題 4 を適用すれば Y0YSet0 が得られる。 ところで Set01 であるから、 最終的に Y0Y0Y1 が得られたことになる。

この随伴列に補題 3 を適用すると (Y0)Y0Y1 が得られる。 さらにこの両端の関手について、 補題 2 によって Y0(Y0) が得られ、 補題 4 によって Y1YSet1 が得られる。 ところで Set1Set であることから、 結局、 Y0(Y0)Y0Y1YSet が示され、 この随伴列が存在を示したかったものである。

ということで、 Set 上の共変 Yoneda 埋め込み関手 Y:SetSetSet に関する随伴列 UVWXY が構成できた。 ・・・のだが、 構成が抽象的でよく分からないので、 具体的な形も書いておこう。 導出過程は省略するが、 上の証明の構成から、 それほど難しいわけではない計算で全て導出できる。

まず、 VX はそれぞれ与えられた前層に 01 を代入する関手である。 V: SetSet Set P P0 X: SetSet Set P P1 真ん中の W は集合から定値前層を作る関手である。 W: Set SetSet A Set Set A 一番左の U は以下の通りである。 U: Set SetSet A Set Set B Hom(B,A)×A

では次回は、 定理 1 の主張の十分性の方の証明を行おうと思う。

参考文献

  1. R. J. Wood (1982) 「Some remarks on total categories」 『Journal of Algebra』 75:538–545
  2. R. Rosebrugh, R. J. Wood (1984) 「An adjoint characterization of the category of sets」 『Proceedings of the American Mathematical Society』 122:409–413