日記 (2020 年 6 月 17 日)

定義 17 からです。

ὅταν δὲ δύο ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσί τινα, ὁ γενόμενος ἐπίπεδος καλεῖται, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ οἱ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ἀριθμοί.

2 つの数が互いをかけることである数を作るとき、 生じたものは平面数と呼ばれ、 その辺とは互いをかけた数である。

ὅταν δὲ δύο ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντεςπολλαπλασιάζωかける|分.能.ア1.男.複.主 ἀλλήλους ποιῶσίποιέω作る|接.能.現.三複 τινατιςある|男.単.対, ὁ γενόμενοςγίγνομαι生じる|分.受.ア2.男.単.主 ἐπίπεδοςἐπίπεδος平面の|男.単.主 καλεῖται, πλευραὶπλευρά辺|複.主 δὲ αὐτοῦ οἱ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ἀριθμοί.

例えば 20=4×5 なので、 20 は平面数で、 20 の辺が 4 と 5 です。 辺の長さがそれぞれ 4 と 5 である長方形の面積が 20 になるのを想像すれば良いと思います。 平面数は平方数 (同じ数を 2 回かけたもの) ではないことには注意すべきかもしれません。 後で出てきますが、 平方数は τετράγωνος ἀριθμός です。

ὅταν δὲ τρεῖς ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσί τινα, ὁ γενόμενος στερεός ἐστιν, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ οἱ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ἀριθμοί.

3 つの数が互いをかけることである数を作るとき、 生じたものは立体数であり、 その辺とは互いをかけた数である。

前の文とほぼ同じ構造になっています。

τετράγωνος ἀριθμός ἐστιν ὁ ἰσάκις ἴσος ἢ ὁ ὑπὸ δύο ἴσων ἀριθμῶν περιεχόμενος.

平方数とは、 等しい数倍の等しい数、 もしくは 2 つの等しい数によって囲まれたものである。

τετράγωνοςτετράγωνος正方形の|男.単.主 ἀριθμός ἐστιν ὁ ἰσάκιςἰσάκις等しい数倍 ἴσος ἢ ὁ ὑπὸ δύο ἴσων ἀριθμῶν περιεχόμενοςπεριέχω囲む|分.受.現.男.単.主.

ἰσάκις 「等しい数倍, 等しい数回」。 ἴσος 「等しい」 と -ακις (数詞の副詞を作る接尾辞) の合成語です。 6 月 14 日に出てきた ἀρτιάκις や περισσάκις と同じ構成ですね。

κύβος δὲ ὁ ἰσάκις ἴσος ἰσάκις ἢ ὁ ὑπὸ τριῶν ἴσων ἀριθμῶν περιεχόμενος.

立方数とは、 等しい数倍の等しい数倍の等しい数、 もしくは 3 つの等しい数によって囲まれたものである。

前の文とほぼ同じ構造です。 3 つになっただけ。

ἀριθμοὶ ἀνάλογόν εἰσιν, ὅταν ὁ πρῶτος τοῦ δευτέρου καὶ ὁ τρίτος τοῦ τετράτου ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσιος ἢ τὸ αὐτὸ μέρος ἢ τὰ αὐτὰ μέρη ὦσιν.

数が比例するとは、 最初の数が 2 番目の数に対して 3 番目の数が 4 番目の数の等しい数倍であるか、 同じ約数であるか、 同じ約数たちであるかするときである。

ἀριθμοὶ ἀνάλογόνἀνάλογος比例の|中.単.主 εἰσιν, ὅταν ὁ πρῶτοςπρῶτος最初の|男.単.主 τοῦ δευτέρουδεύτερος2 番目の|男.単.属 καὶ ὁ τρίτοςτρίτος3 番目の|男.単.主 τοῦ τετράτουτέτρατος4 番目の|男.単.主 ἰσάκιςἰσάκις等しい数倍 ᾖεἰμίである|接.能.現.三単 πολλαπλάσιοςπολλαπλάσιος倍の|男.単.主 ἢ τὸ αὐτὸαὐτός同じ|中.単.主 μέρος ἢ τὰ αὐτὰαὐτός同じ|中.複.主 μέρη ὦσινεἰμίである|接.能.現.三複.

ἀνάλογόν < ἀνάλογος 「比例の, 類似の」。 ἀνά 「～の上に」 と λόγος 「関係, 計算, 説明」 の合成語です。 英語の analogue や analogous の語源です。

文の最初が主節で、 ἀριθμοὶ と ἀνάλογόν がそれぞれ主語と補語ですが、 ἀνάλογόν が性も数も一致していません。 これは、 複数形である ἀριθμοὶ で表される複数のものを、 集合的に 1 つのものとして捉えているためだと考えられます。 実際、 「比例している」 という述語は、 4 つの数のそれぞれに対して定義されるものではなく、 4 つの数から成る 1 つの組に対して定義されるものです。 このように、 複数のものの集まりをまとめて 1 つと見なすときは、 中性単数形が用いられます [S:§1024]。

出てくる 4 つの数を順に a,b,c,d と書くことにしましょう。 最初のケース、 すなわち a が b に対して c が d の同じ数倍であるとは、 例えば a=6,b=3,c=8,d=4 の場合です。 6 は 3 の倍数で 8 は 4 の倍数ですが、 さらにどちらも 2 倍という点で共通しているので、 「同じ数倍」 であるわけです。 次のケースは、 例えば a=3,b=6,c=4,d=8 の場合です。 3 は 6 の約数で 4 は 8 の約数ですが、 どちらもちょうど半分なので、 この意味で 「同じ約数」 と言っています。 最後のケースは、 例えば a=4,b=10,c=6,d=15 の場合です。 4 は 10 の約数たちで 6 は 15 の約数たちですが、 「約数たち」 と言っているその約数 (前者のペアでは 2, 後者のペアでは 3) について、 それぞれその 2 倍と 5 倍になっているので、 この割合が等しいという意味で 「同じ約数たち」 と言っています。 要するに、 比として a:b=c:d が成り立っていることを定義しているわけです。